Exercício II.22: Usando a teoria de probabilidades, interprete o significado da variância.
Passo 1
O enunciado pede que a gente use a teoria de probabilidades para interpretar qualitativamente o que a variância de uma variável aleatória significa. Para isso, vamos precisar do conceito de esperança (ou valor esperado) e do desvio em torno dessa esperança.
Passo 2
Primeiro, lembramos a definição de esperança de uma variável aleatória
. Chamamos de
o valor esperado de
, dado por
Esse
é a medida de tendência central: em média,
“fica em torno” de
.
Passo 3
Em seguida, definimos a variância de
, denotada por
ou
. Por definição,
Isso significa que primeiro calculamos o desvio
em cada resultado de
, elevamos ao quadrado e depois tiramos a média desses quadrados.
Passo 4
Interpretando essa fórmula: a variância é o valor esperado da distância quadrática de
ao seu ponto médio
. Como usamos o quadrado, desvios maiores são penalizados com mais peso, fazendo da variância uma medida sensível a valores muito distantes da média. Em outras palavras, quanto maior
, mais espalhados estão os valores de
em torno de
.
Passo 5
Uma forma alternativa, que ajuda a calcular na prática, é
Aqui vemos que a variância mede a dispersão ao comparar o segundo momento
com o quadrado do primeiro momento. Além disso,
é o ponto que minimiza
quando variamos
, o que dá interpretação de “melhor ponto de referência” para medir dispersão.
Resposta
A variância de uma variável aleatória
,
é o valor esperado do quadrado do desvio de
em relação à sua média. Em termos práticos, ela quantifica a dispersão dos valores de
ao redor do seu valor médio, penalizando de forma mais forte os desvios mais distantes por causa do quadrado.