Exercício II.22: Usando a teoria de probabilidades, interprete o significado da variância.

Passo 1

O enunciado pede que a gente use a teoria de probabilidades para interpretar qualitativamente o que a variância de uma variável aleatória significa. Para isso, vamos precisar do conceito de esperança (ou valor esperado) e do desvio em torno dessa esperança.

Passo 2

Primeiro, lembramos a definição de esperança de uma variável aleatória X. Chamamos de mu o valor esperado de X, dado por
mu = E[X]
Esse mu é a medida de tendência central: em média, X “fica em torno” de mu.

Passo 3

Em seguida, definimos a variância de X, denotada por Var(X) ou sigma^2. Por definição,
Var(X) = El[(X - mu)^2r]
Isso significa que primeiro calculamos o desvio X-mu em cada resultado de X, elevamos ao quadrado e depois tiramos a média desses quadrados.

Passo 4

Interpretando essa fórmula: a variância é o valor esperado da distância quadrática de X ao seu ponto médio mu. Como usamos o quadrado, desvios maiores são penalizados com mais peso, fazendo da variância uma medida sensível a valores muito distantes da média. Em outras palavras, quanto maior Var(X), mais espalhados estão os valores de X em torno de mu.

Passo 5

Uma forma alternativa, que ajuda a calcular na prática, é
Var(X) = E[X^2] - l(E[X]r)^2
Aqui vemos que a variância mede a dispersão ao comparar o segundo momento E[X^2] com o quadrado do primeiro momento. Além disso, mu é o ponto que minimiza E[(X - c)^2] quando variamos c, o que dá interpretação de “melhor ponto de referência” para medir dispersão.

Resposta

A variância de uma variável aleatória X,
Var(X)=El[(X-E[X])^2r],
é o valor esperado do quadrado do desvio de X em relação à sua média. Em termos práticos, ela quantifica a dispersão dos valores de X ao redor do seu valor médio, penalizando de forma mais forte os desvios mais distantes por causa do quadrado.

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