Exercício III.4: Considere que o estado:
representa um estado físico para um elétron preso em um cristal. Discuta o seu significado físico.
Passo 1
O enunciado nos dá um estado quântico genérico para um elétron preso em um cristal, escrito como
onde
e
formam uma base ortonormal (por exemplo, spin “para cima” e “para baixo” ao longo de um eixo escolhido). O conteúdo é mecânica quântica de sistemas de dois níveis (qubit).
Passo 2
Como qualquer vetor de estado físico,
deve estar normalizado. Isso implica
Aqui
e
são amplitudes de probabilidade complexas, e a condição acima garante que alguma das duas configurações será efetivamente obtida ao medir o spin.
Passo 3
Quando medimos o observable
que tem autovalores associados aos estados
e
, obtemos
- Probabilidade de sair “spin up” (estado
): - Probabilidade de sair “spin down” (estado
):
Essas probabilidades somam
graças à normalização.
Passo 4
Além do aspecto probabilístico,
pode ser representado geometricamente na esfera de Bloch. Definindo
então
e
são ângulos que situam o ponto correspondente ao estado na superfície da esfera de raio unitário. Essa representação mostra como variar
e
equivale a girar o spin em diferentes direções.
Passo 5
Fisicamente, descrever o el"etron nesse estado significa que seu spin n~ao est’a definitivamente
nem
, mas em superposi\c{c}~ao. S’o ao interagir com um aparelho de medida ele
em
ou
. Enquanto isso, sob a a\c{c}~ao de um Hamiltoniano apropriado (por ex. campo magn’etico), o par
evolui segundo a equa\c{c}~ao de Schr"odinger, permitindo controle qu^antico do spin.
Resposta
O estado
é uma superposição quântica de dois autovalores do spin (ou de outra dupla de níveis ligados), onde
e
dão as probabilidades de medir cada configuração. Geometricamente, ele corresponde a um ponto na esfera de Bloch, e sua evolução sob um Hamiltoniano descreve rotações nessa esfera.