Exercício III.4: Considere que o estado:
|vrang<==a|+rang<=+b |-rang<=,
representa um estado físico para um elétron preso em um cristal. Discuta o seu significado físico.

Passo 1

O enunciado nos dá um estado quântico genérico para um elétron preso em um cristal, escrito como
|vrang<= = a,|+rang<= + b,|-rang<=
onde |+rang<= e |-rang<= formam uma base ortonormal (por exemplo, spin “para cima” e “para baixo” ao longo de um eixo escolhido). O conteúdo é mecânica quântica de sistemas de dois níveis (qubit).

Passo 2

Como qualquer vetor de estado físico, |vrang<= deve estar normalizado. Isso implica
lang<= v|vrang<= = |a|^2 + |b|^2 = 1
Aqui a e b são amplitudes de probabilidade complexas, e a condição acima garante que alguma das duas configurações será efetivamente obtida ao medir o spin.

Passo 3

Quando medimos o observable Sz que tem autovalores associados aos estados |+rang<= e |-rang<=, obtemos
  • Probabilidade de sair “spin up” (estado |+rang<=): P+ = |a|^2
  • Probabilidade de sair “spin down” (estado |-rang<=): P- = |b|^2
Essas probabilidades somam 1 graças à normalização.

Passo 4

Além do aspecto probabilístico, |vrang<= pode ser representado geometricamente na esfera de Bloch. Definindo
a = costheta2, b = e^iphisintheta2,
então theta e phi são ângulos que situam o ponto correspondente ao estado na superfície da esfera de raio unitário. Essa representação mostra como variar theta e phi equivale a girar o spin em diferentes direções.

Passo 5

Fisicamente, descrever o el"etron nesse estado significa que seu spin n~ao est’a definitivamente ``para cima'' nem ``para baixo'', mas em superposi\c{c}~ao. S’o ao interagir com um aparelho de medida ele ``colapsa'' em |+rang<= ou |-rang<=. Enquanto isso, sob a a\c{c}~ao de um Hamiltoniano apropriado (por ex. campo magn’etico), o par (a,b) evolui segundo a equa\c{c}~ao de Schr"odinger, permitindo controle qu^antico do spin.

Resposta

O estado |vrang<==a|+rang<=+b|-rang<= é uma superposição quântica de dois autovalores do spin (ou de outra dupla de níveis ligados), onde |a|^2 e |b|^2 dão as probabilidades de medir cada configuração. Geometricamente, ele corresponde a um ponto na esfera de Bloch, e sua evolução sob um Hamiltoniano descreve rotações nessa esfera.

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