Qual é a solução do PVI:
y^prime prime+y=l0, se 0 <= t<pi 1, se t >= pi ; y(0)=1, y^prime(0)=0 ?
a. y(t)=cos t+upi(t)(1-cos (t-pi))
b. y(t)=cos t-upi(t)(1-cos (t-pi))
c. y(t)=sin t-upi(t)(1+cos (t-pi))
d. y(t)=sin t-upi(t)(1-cos (t-pi))
e. y(t)=cos t+upi(t)(1-sin (t-pi))

Passo 1

O problema é um PVI para a EDO linear de segunda ordem
y''+y=f(t),
com
f(t)= 0,&0<= t<pi, 1,&t>=pi,
e condições iniciais y(0)=1, y'(0)=0.
Vamos usar o método de Duhamel (ou convolução com a função degrau) para escrever a solução como soma da resposta livre e da resposta forçada.

Passo 2

A solução geral da homogênea
y''+y=0
com y(0)=1 e y'(0)=0 é
yh(t)=cos t

Passo 3

Pela fórmula de Duhamel, a solução do PVI é
y(t)=yh(t)+integral0^tsinl(t-taur),f(tau),dtau

Passo 4

Como
f(tau)=upi(tau),
temos
integral0^tsinl(t-taur)upi(tau),dtau = upi(t)integralpi^tsinl(t-taur),dtau = upi(t)integral0^,t-pisin s,ds = upi(t)l(1-cos(t-pi)r)
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y(t)=cos t+upi(t)l(1-cos(t-pi)r)

Resposta

a. y(t)=cos t+upi(t)l(1-cos(t-pi)r)

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