Se f(t) é a transformada de Laplace inversa da função F(s)=8 s^2-4 s+12s(s^2+4) então:
a. f^prime(0)=13
b. f^prime(0)=2
c. f^prime(0)=5
d. f^prime(0)=8
e. f^prime(0)=1

Passo 1

Enunciado resumido: Temos a função de Laplace F(s)=dfrac8s^2-4s+12s(s^2+4) e queremos calcular f'(0), onde f(t)=L^-1F(s). Vamos usar conteúdos de transformada inversa e valores iniciais.

Passo 2

Fazendo fração parcial de F(s):
8s^2-4s+12s(s^2+4)=As+Bs+Cs^2+4
Multiplicando por s(s^2+4) e igualando coeficientes obtemos:
A(s^2+4)+(Bs+C)s=8s^2-4s+12
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A+B=8 C=-4 4A=12 Longrightarrow A=3, B=5, C=-4

Passo 3

Da fração parcial, escrevemos f(t):
f(t)=3+5,L^-1lss^2+4r-4,L^-1l1s^2+4r
Como L^-1s/(s^2+4)=cos2t e L^-11/(s^2+4)=tfrac12sin2t, segue
f(t)=3+5cos2t-2sin2t

Passo 4

Derivando f(t) e avaliando em t=0:
f'(t)=-10sin2t-4cos2t,
portanto
f'(0)=-10cdot0-4cdot1=-4

Resposta

-4

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