(1,5 pontos) Uma pessoa fez uma aplicação de 2.000 çã1,2 % çã\mathrm{S}(\mathrm{t})$, em um dado tempo t (mês) é calculado usando o modelo exponencial para juros compostos continuamente,
sendo saldo inicial (em t=0) e k a taxa de juros na forma decimal.
a) Determine o saldo após 6 meses e após 1 ano.
b) Quanto tempo será necessário para que o saldo devedor seja o dobro do saldo inicial.

Passo 1

Temos uma aplicação de R$ 2.000 com juros compostos continuamente à taxa mensal de 1,2%. O modelo é de juros compostos contínuos, cuja fórmula é
S(t)=S0cdot e^k,t
Aqui temos
S0=2000 e a taxa decimal é k=0,012 por mês. Vamos calcular o montante em 6 e 12 meses e depois achar o tempo para dobrar o saldo.

Passo 2

Para obter o saldo após 6 meses, substituímos na fórmula:
Calculando numericamente, , logo

Passo 3

Para o saldo após 1 ano (12 meses), usamos :
Como , temos

Passo 4

Para descobrir quando o saldo dobra, impomos S(t)=2S0=4000. Então
4000=2000cdot e^0,012,timplies e^0,012,t=2implies0,012,t=ln2implies t=ln20,012
Usando ln2approx0,6931, obtemos
tapprox0,69310,012approx57,76 meses
que é cerca de 4,8 anos.

Resposta

Saldo após 6 meses: R 2149,30; saldo após 1 ano: Ró 2309,80; tempo para dobrar o saldo: aproximadamente 57,8 meses (cerca de 4,8 anos).

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