Exercício II.28: Mostre que, em termos das condições iniciais do problema, podemos reescrever a solução como:
x(t)=x0 cos (omega t)+p0m omega sin (omega t)

Passo 1

O enunciado pede para escrever a solução do oscilador harmônico
ddotx + omega^2 x = 0
de modo que ela fique em função das condições iniciais
x(0) = x0 e p(0) = p0,
sabendo que o momento é p = m dotx.
O conteúdo aqui é a solução geral de uma EDO linear homogênea de segunda ordem e como determinar as constantes de integração a partir das condições iniciais.

Passo 2

Escrevemos a solução geral usando as funções básicas para raízes imaginárias:
x(t)=Acos(omega t)+Bsin(omega t)
Para achar A e B, impomos x(0)=x0. Como
x(0)=Acos(0)+Bsin(0)=A,
vem que
A=x0

Passo 3

Agora usamos a condição no momento. Primeiro,
dot x(t)=-A,omegasin(omega t)+B,omegacos(omega t),
então em t=0
dot x(0)=B,omega
Como p(0)=mdot x(0)=p0, temos
p0=m,B,omega Longrightarrow B=p0m,omega

Passo 4

Substituindo A e B na solução geral, obtemos
x(t) =x0cos(omega t) +p0m,omegasin(omega t),
que é exatamente a forma desejada.

Resposta

x(t)=x0cos(omega t)+p0m,omegasin(omega t)

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