(2,5 pontos) Para a função f(x)=x^2+x-6x^2-4
a) Determine os limites abaixo
(i) lim x -3 f(x),
(ii) lim x -2 f(x),
(iii) lim x 0 f(x),
(iv) lim x 1 f(x), (v) lim x 2 f(x).
b) Determine e classifique os pontos de descontinuidade da função. Determine também as assíntotas verticais.
c) Estude o sinal da função.
d) Determine os limites no infinito e determine também as assíntotas horizontais.
e) Extra ( 1,0 ponto). Faça um esboço do gráfico baseado nas informações dos itens anteriores.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=x^2+x-6x^2-4
e pede:
a) cinco limites pontuais,
b) descontinuidades e assíntotas verticais,
c) estudo de sinal,
d) limites no infinito e assíntotas horizontais,
e) esboço do gráfico.
Para resolver usaremos fatoração de polinômios, simplificação de função racional, definição de limite (substituição direta ou análise lateral para assíntotas) e análise de zeros e sinais para racionais.

Passo 2

Fatoramos numerador e denominador:
x^2+x-6=(x+3)(x-2),
x^2-4=(x-2)(x+2)
Assim, para xneq2 e xneq-2,
f(x)=(x+3)(x-2)(x-2)(x+2)=x+3x+2
Logo o domínio é
xinRsetminus-2,2,
com ponto removível em x=2 e possível assíntota em x=-2.

Passo 3

Calculamos cada limite:
Para limxto -3f(x), como -3neqpm2, usamos substituição na forma simplificada:
limxto -3f(x) =-3+3-3+2 =0-1=0
Para limxto -2f(x), notamos que em x=-2 o denominador se anula sem cancelar numerador. Assim há assíntota vertical e comportamentos laterais:
limxto -2^-f(x) =limxto -2^-x+3x+2 =1negativo pequeno=-infty,
limxto -2^+f(x) =1positivo pequeno=+infty
Não existe limite finito em x=-2.
Para limxto 0f(x), substituindo:
limxto 0f(x) =0+30+2 =32
Para limxto 1f(x), substituindo:
limxto 1f(x) =1+31+2 =43
Para limxto 2f(x), tratamos o ponto removível:
limxto 2f(x) =limxto 2x+3x+2 =54

Passo 4

Descontinuidades e assíntotas verticais:
  • Em x=2 há descontinuidade removível (buraco), pois o limite existe e vale tfrac54.
  • Em x=-2 há descontinuidade infinita (assíntota vertical), porque limxto-2^pmf(x)=mpinfty.
    A única assíntota vertical é
x=-2

Passo 5

Estudo de sinal de f(x)=x+3x+2 (exceto em x=-2):
Zero do numerador em x=-3. Zero do denominador em x=-2 (assíntota). Analisando intervalos:
  • Para x<-3: x+3<0, x+2<0 Rightarrow f(x)>0.
  • Para -3<x<-2: x+3>0, x+2<0 Rightarrow f(x)<0.
  • Para x>-2: x+3>0, x+2>0 Rightarrow f(x)>0.
Em x=-2 o valor está indefinido, mas à volta de x=-2 o sinal é positivo.

Passo 6

Limites no infinito e assíntotas horizontais. Como f(x) simplificada é razão de grau 1 por grau 1, o limite em infinito é o quociente dos coeficientes de x:
limxtopminftyf(x) =11=1
Portanto há assíntota horizontal
y=1

Resposta

a)
(i) limxto -3f(x)=0.
(ii) limxto -2^-f(x)=-infty, limxto -2^+f(x)=+infty (sem limite finito).
(iii) limxto 0f(x)=tfrac32.
(iv) limxto 1f(x)=tfrac43.
(v) limxto 2f(x)=tfrac54.
b) Descontinuidade removível em x=2 (buraco) e infinita em x=-2 (assíntota vertical). Assíntota vertical: x=-2.
c) f(x)>0 para x<-3 e para x>-2; f(x)<0 para -3<x<-2.
d) limxtopminftyf(x)=1. Assíntota horizontal: y=1.
e) Esboço qualitativo: ramo para x<-3 acima do eixo e decrescendo até o ponto (-3,0), depois mergulha em -infty ao aproximar de x=-2 pela esquerda; sai de +infty ao sair de x=-2 pela direita, cruza o eixo em x=-3 (já feito) e aproxima-se de y=1 conforme xto+infty, com buraco em (2,5/4).

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