(2,5 pontos) Para a função
a) Determine os limites abaixo
(i)
,
(ii)
,
(iii)
,
(iv)
, (v)
.
b) Determine e classifique os pontos de descontinuidade da função. Determine também as assíntotas verticais.
c) Estude o sinal da função.
d) Determine os limites no infinito e determine também as assíntotas horizontais.
e) Extra ( 1,0 ponto). Faça um esboço do gráfico baseado nas informações dos itens anteriores.
a) Determine os limites abaixo
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
b) Determine e classifique os pontos de descontinuidade da função. Determine também as assíntotas verticais.
c) Estude o sinal da função.
d) Determine os limites no infinito e determine também as assíntotas horizontais.
e) Extra ( 1,0 ponto). Faça um esboço do gráfico baseado nas informações dos itens anteriores.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede:
a) cinco limites pontuais,
b) descontinuidades e assíntotas verticais,
c) estudo de sinal,
d) limites no infinito e assíntotas horizontais,
e) esboço do gráfico.
a) cinco limites pontuais,
b) descontinuidades e assíntotas verticais,
c) estudo de sinal,
d) limites no infinito e assíntotas horizontais,
e) esboço do gráfico.
Para resolver usaremos fatoração de polinômios, simplificação de função racional, definição de limite (substituição direta ou análise lateral para assíntotas) e análise de zeros e sinais para racionais.
Passo 2
Fatoramos numerador e denominador:
Assim, para
e
,
Logo o domínio é
com ponto removível em
e possível assíntota em
.
Passo 3
Calculamos cada limite:
Para
, como
, usamos substituição na forma simplificada:
Para
, notamos que em
o denominador se anula sem cancelar numerador. Assim há assíntota vertical e comportamentos laterais:
Não existe limite finito em
.
Para
, substituindo:
Para
, substituindo:
Para
, tratamos o ponto removível:
Passo 4
Descontinuidades e assíntotas verticais:
- Em
há descontinuidade removível (buraco), pois o limite existe e vale . - Em
há descontinuidade infinita (assíntota vertical), porque .
A única assíntota vertical é
Passo 5
Estudo de sinal de
(exceto em
):
Zero do numerador em
. Zero do denominador em
(assíntota). Analisando intervalos:
- Para
: , . - Para
: , . - Para
: , .
Em
o valor está indefinido, mas à volta de
o sinal é positivo.
Passo 6
Limites no infinito e assíntotas horizontais. Como
simplificada é razão de grau
por grau
, o limite em infinito é o quociente dos coeficientes de
:
Portanto há assíntota horizontal
Resposta
a)
(i) .
(ii) ,
(sem limite finito).
(iii) .
(iv) .
(v) .
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
b) Descontinuidade removível em
(buraco) e infinita em
(assíntota vertical). Assíntota vertical:
.
c)
para
e para
;
para
.
d)
. Assíntota horizontal:
.
e) Esboço qualitativo: ramo para
acima do eixo e decrescendo até o ponto
, depois mergulha em
ao aproximar de
pela esquerda; sai de
ao sair de
pela direita, cruza o eixo em
(já feito) e aproxima-se de
conforme
, com buraco em
.