Exercício P.1.4.1. Numa indústria deseja-se projetar um dissipador de calor para elementos transistores em um local onde o coeficiente de película é 3 \mathrm{Kcal} / \mathrm{h} \cdot \mathrm{m}^{2} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}. A base do dissipador será uma placa plana, de 10 cm x 10 cm , sobre a qual estarão dispostas 8 aletas, de seção transversal retangular, com espaçamento constante, de 2 mm de espessura e 40 mm de altura. Sob a placa deve ser mantida uma temperatura de 80^{\circ} \mathrm{C}, com temperatura ambiente de 30^{\circ} \mathrm{C}. Considerando a condutividade térmica das aletas igual a 35 \mathrm{Kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C}, pede-se :
a) a eficiência da aleta;
b) calor dissipado pela placa aletada;

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Coeficiente de película (convecção): h = 3\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^{2}\cdot{}^{\circ}\mathrm{C}).
  • Condutividade térmica das aletas: k = 35\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}\cdot{}^{\circ}\mathrm{C}).
  • Placa (base) com dimensões 10\\ \mathrm{cm}\times10\\ \mathrm{cm} (ou seja, lado 0,10\\ \mathrm{m}).
  • Número de aletas: N = 8.
  • Espessura de cada aleta: t = 2\\ \mathrm{mm} = 0{,}002\\ \mathrm{m}.
  • Altura (comprimento) da aleta medida a partir da base: L = 40\\ \mathrm{mm} = 0{,}04\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura da base (onde as aletas estão presas): T_b = 80\,^{\circ}\mathrm{C}.
  • Temperatura ambiente: T_\infty = 30\,^{\circ}\mathrm{C}.
  • Diferença de temperatura: \Delta T = T_b - T_\infty = 50\,^{\circ}\mathrm{C}.
O enunciado pede:
(a) a eficiência da aleta (eficiência de uma aleta individual);
(b) o calor dissipado pela placa aletada (calor total dissipado por todas as aletas mais a área de placa exposta).

Passo 2

Conversão de medidas e definição geométrica usada (tudo em metros):
  • Lado da placa (que corresponde à largura das aletas no sentido perpendicular à sua altura): W = 0{,}10\\ \mathrm{m}.
  • Espessura da aleta: t = 0{,}002\\ \mathrm{m}.
  • Altura da aleta (comprimento convectivo): L = 0{,}04\\ \mathrm{m}.
  • Número de aletas: N = 8.
  • Área total da placa: A_{\text{placa}} = W \times W = 0{,}10\times0{,}10 = 0{,}01\\ \mathrm{m}^2.
Observação sobre espaço entre aletas:
  • As aletas estão dispostas com espaçamento constante ao longo do lado W. Para computar áreas expostas da placa, a área ocupada pelas bases das aletas é N\cdot t\cdot W. Não é necessário usar explicitamente o valor do espaço numérico entre as aletas para calcular o calor (basta saber a área ocupada pelas aletas).

Passo 3

Modelo físico e fórmulas fundamentais (aula rápida):
  • Uma aleta reta de seção retangular e espessura t e largura W (no sentido perpendicular à altura) tem:
    • Área de seção transversal que conduz calor: A_c = t\cdot W.
    • Perímetro convectivo (considerando as duas faces largas como predominantes): P \approx 2W (as arestas finas de espessura t são desprezíveis se t\ll W).
  • O parâmetro característico das aletas é m = \sqrt{\dfrac{hP}{kA_c}}.Substituindo P\approx 2W e A_c=tW obtemos a forma simplificada m = \sqrt{\dfrac{2h}{k\,t}}.Explicação: m tem dimensão de 1/\mathrm{m} e representa a taxa com que a temperatura na aleta decresce ao longo de seu comprimento; quanto maior m, mais rápido cai a temperatura e menor a contribuição do trecho distante da base.
  • Correção de ponta de aleta: para aletas de espessura finita, usa-se comprimento efetivo corrigido L_c = L + \dfrac{t}{2}.Isso leva em conta o efeito da ponta da aleta.
  • Eficiência de uma aleta (razão entre calor real transferido pela aleta e o máximo possível se toda a superfície estivesse à temperatura da base) para aleta com geometria uniforme e convecção ao redor: \eta_{\text{aleta}} = \dfrac{\operatorname{tanh}(mL_c)}{mL_c}.Observação: essa fórmula assume que a perda por convecção da ponta já está considerada pela correção L_c.
  • Calor dissipado por uma aleta (usando a eficiência): Q_{\text{aleta}} = \eta_{\text{aleta}}\; h\; A_f\; \Delta T,onde A_f é a área superficial total da aleta (duas faces laterais mais a área da ponta): A_f = 2 W L + W t.(as faces grandes são 2WL e a ponta tem área W t).

Passo 4

Cálculo do parâmetro m e do produto mL_c:
  • Primeiro calculemos m usando a expressão simplificada:
m = \sqrt{\dfrac{2h}{k\,t}}.
Substituindo h=3, k=35, t=0{,}002:
m = \sqrt{\dfrac{2\cdot 3}{35\cdot 0{,}002}} = \sqrt{\dfrac{6}{0{,}07}} = \sqrt{85{,}7142857} \approx 9{,}263\\ \mathrm{m}^{-1}.
  • Comprimento efetivo:
L_c = L + \dfrac{t}{2} = 0{,}04 + 0{,}001 = 0{,}041\\ \mathrm{m}.
  • Produto:
mL_c \approx 9{,}263\times 0{,}041 \approx 0{,}3798.

Passo 5

Cálculo da eficiência da aleta (a parte (a)):
  • Usando a fórmula
\eta_{\text{aleta}} = \dfrac{\operatorname{tanh}(mL_c)}{mL_c},
substituímos mL_c \approx 0{,}3798. Calculando \operatorname{tanh}(0{,}3798)\approx 0{,}3625 (valor numérico),
\eta_{\text{aleta}} \approx \dfrac{0{,}3625}{0{,}3798} \approx 0{,}9543.
Interpretação: cada aleta trabalha com aproximadamente 95{,}4\% da eficiência ideal (se toda sua superfície estivesse à temperatura da base). Isso é razoável porque aleta é relativamente curta em relação ao decaimento característico 1/m.

Passo 6

Cálculo do calor dissipado por uma aleta:
  • Área superficial da aleta:
A_f = 2 W L + W t = 2\cdot 0{,}10\cdot 0{,}04 + 0{,}10\cdot 0{,}002 = 0{,}008 + 0{,}0002 = 0{,}0082\\ \mathrm{m}^2.
  • Calor por aleta:
Q_{\text{aleta}} = \eta_{\text{aleta}}\; h\; A_f\; \Delta T.
Substituindo valores numéricos ( \eta_{\text{aleta}}\approx 0{,}9543, h=3, A_f=0{,}0082, \Delta T=50):
Q_{\text{aleta}} \approx 0{,}9543\times 3 \times 0{,}0082 \times 50.
Calcule passo a passo:
3\times 0{,}0082 = 0{,}0246, \qquad 0{,}0246\times 50 = 1{,}23, \qquad Q_{\text{aleta}} \approx 0{,}9543\times 1{,}23 \approx 1{,}1748\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}.

Passo 7

Calor dissipado por todas as aletas:
Q_{\text{aletas\_tot}} = N \cdot Q_{\text{aleta}} = 8 \times 1{,}1748 \approx 9{,}3984\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}.

Passo 8

Calor dissipado pela área de placa exposta (área do topo da placa não ocupada pelas bases das aletas):
  • Área ocupada pelas bases das aletas (pegada no topo): A_{\text{ocupada}} = N\cdot t\cdot W = 8\times 0{,}002\times 0{,}10 = 0{,}0016\\ \mathrm{m}^2.
  • Área de placa exposta ao ar (topo) que contribui por convecção sem aletas:
A_{\text{placa\_exposta}} = A_{\text{placa}} - A_{\text{ocupada}} = 0{,}01 - 0{,}0016 = 0{,}0084\\ \mathrm{m}^2.
  • Calor dissipado por essa área (sem eficiência, superfície plana):
Q_{\text{placa}} = h\; A_{\text{placa\_exposta}}\; \Delta T = 3 \times 0{,}0084 \times 50 = 3 \times 0{,}42 = 1{,}26\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}.

Passo 9

Calor total dissipado pela placa aletada:
Q_{\text{total}} = Q_{\text{aletas\_tot}} + Q_{\text{placa}} \approx 9{,}3984 + 1{,}26 \approx 10{,}6584\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}.
Arredondando com precisão razoável:
Q_{\text{total}} \approx 10{,}66\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}.

Passo 10

Resumo didático e observações (curta pep talk):
  • A eficiência da aleta ficou alta ( \approx 95{,}4\%) porque as aletas são relativamente curtas e/ou com boa condutividade k, então a maior parte da aleta atua próxima à temperatura da base.
  • O calor total considera tanto as 8 aletas quanto a área de placa que ficou exposta. Assumimos convecção uniforme h sobre todas as superfícies externas e que a resistência térmica de contato entre aleta e base é desprezível.
  • Se quiser uma estimativa mais refinada poderia incluir a convecção também nas faces laterais da placa ou ajustar a área da ponta de aleta com maior precisão; mas para prova essa abordagem e fórmulas são as esperadas.

Resposta

(a) \eta_{\text{aleta}} \approx 0{,}954 \;(\text{ou }95{,}4\%)
(b) Q_{\text{total}} \approx 10{,}66\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}

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