Exercício P.1.4.1. Numa indústria deseja-se projetar um dissipador de calor para elementos transistores em um local onde o coeficiente de película é
. A base do dissipador será uma placa plana, de 10 cm x 10 cm , sobre a qual estarão dispostas 8 aletas, de seção transversal retangular, com espaçamento constante, de 2 mm de espessura e 40 mm de altura. Sob a placa deve ser mantida uma temperatura de
, com temperatura ambiente de
. Considerando a condutividade térmica das aletas igual a
, pede-se :
a) a eficiência da aleta;
b) calor dissipado pela placa aletada;
a) a eficiência da aleta;
b) calor dissipado pela placa aletada;
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
- Coeficiente de película (convecção):
. - Condutividade térmica das aletas:
. - Placa (base) com dimensões
(ou seja, lado ). - Número de aletas:
. - Espessura de cada aleta:
. - Altura (comprimento) da aleta medida a partir da base:
. - Temperatura da base (onde as aletas estão presas):
. - Temperatura ambiente:
. - Diferença de temperatura:
.
O enunciado pede:
(a) a eficiência da aleta (eficiência de uma aleta individual);
(b) o calor dissipado pela placa aletada (calor total dissipado por todas as aletas mais a área de placa exposta).
(a) a eficiência da aleta (eficiência de uma aleta individual);
(b) o calor dissipado pela placa aletada (calor total dissipado por todas as aletas mais a área de placa exposta).
Passo 2
Conversão de medidas e definição geométrica usada (tudo em metros):
- Lado da placa (que corresponde à largura das aletas no sentido perpendicular à sua altura):
. - Espessura da aleta:
. - Altura da aleta (comprimento convectivo):
. - Número de aletas:
. - Área total da placa:
.
Observação sobre espaço entre aletas:
- As aletas estão dispostas com espaçamento constante ao longo do lado
. Para computar áreas expostas da placa, a área ocupada pelas bases das aletas é . Não é necessário usar explicitamente o valor do espaço numérico entre as aletas para calcular o calor (basta saber a área ocupada pelas aletas).
Passo 3
Modelo físico e fórmulas fundamentais (aula rápida):
- Uma aleta reta de seção retangular e espessura
e largura (no sentido perpendicular à altura) tem: - Área de seção transversal que conduz calor:
. - Perímetro convectivo (considerando as duas faces largas como predominantes):
(as arestas finas de espessura são desprezíveis se ).
- Área de seção transversal que conduz calor:
- O parâmetro característico das aletas é
Substituindo e obtemos a forma simplificada Explicação: tem dimensão de e representa a taxa com que a temperatura na aleta decresce ao longo de seu comprimento; quanto maior , mais rápido cai a temperatura e menor a contribuição do trecho distante da base. - Correção de ponta de aleta: para aletas de espessura finita, usa-se comprimento efetivo corrigido
Isso leva em conta o efeito da ponta da aleta. - Eficiência de uma aleta (razão entre calor real transferido pela aleta e o máximo possível se toda a superfície estivesse à temperatura da base) para aleta com geometria uniforme e convecção ao redor:
Observação: essa fórmula assume que a perda por convecção da ponta já está considerada pela correção . - Calor dissipado por uma aleta (usando a eficiência):
onde é a área superficial total da aleta (duas faces laterais mais a área da ponta): (as faces grandes são e a ponta tem área ).
Passo 4
Cálculo do parâmetro
e do produto
:
- Primeiro calculemos
usando a expressão simplificada:
Substituindo
,
,
:
- Comprimento efetivo:
- Produto:
Passo 5
Cálculo da eficiência da aleta (a parte (a)):
- Usando a fórmula
substituímos
. Calculando
(valor numérico),
Interpretação: cada aleta trabalha com aproximadamente
da eficiência ideal (se toda sua superfície estivesse à temperatura da base). Isso é razoável porque aleta é relativamente curta em relação ao decaimento característico
.
Passo 6
Cálculo do calor dissipado por uma aleta:
- Área superficial da aleta:
- Calor por aleta:
Substituindo valores numéricos (
,
,
,
):
Calcule passo a passo:
Passo 7
Calor dissipado por todas as aletas:
Passo 8
Calor dissipado pela área de placa exposta (área do topo da placa não ocupada pelas bases das aletas):
- Área ocupada pelas bases das aletas (pegada no topo):
- Área de placa exposta ao ar (topo) que contribui por convecção sem aletas:
- Calor dissipado por essa área (sem eficiência, superfície plana):
Passo 9
Calor total dissipado pela placa aletada:
Arredondando com precisão razoável:
Passo 10
Resumo didático e observações (curta pep talk):
- A eficiência da aleta ficou alta (
) porque as aletas são relativamente curtas e/ou com boa condutividade , então a maior parte da aleta atua próxima à temperatura da base. - O calor total considera tanto as 8 aletas quanto a área de placa que ficou exposta. Assumimos convecção uniforme
sobre todas as superfícies externas e que a resistência térmica de contato entre aleta e base é desprezível. - Se quiser uma estimativa mais refinada poderia incluir a convecção também nas faces laterais da placa ou ajustar a área da ponta de aleta com maior precisão; mas para prova essa abordagem e fórmulas são as esperadas.
Resposta
(a)
(b)
(b)