Exercício P.1.3.4. Um reservatório esférico ( \mathrm{k}=1,65 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m} .^{\circ} \mathrm{C} ) de diâmetro externo 1,2 \mathrm{~m} e interno 1,1 \mathrm{~m} é aquecido internamente por resistência elétrica de modo a manter a temperatura da superfície externa a 90^{\circ} \mathrm{C}. Quando água de chuva a 25{ }^{\circ} \mathrm{C} flui pelo lado externo do reservatório, durante uma tempestade, a potência requerida na resistência é 140 KW . Quando ar atmosférico a 25^{\circ} \mathrm{C} flui pelo lado externo do reservatório, durante uma ventania, a potência requerida é 20 KW .
a) Calcular os coeficientes de película para os fluxos de água e ar.
b) Calcular a temperatura da superfície interna do reservatório em ambos casos.
DADO : 1 \mathrm{KW}=860 \mathrm{kcal} / \mathrm{h}

Passo 1

Listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados geométricos do reservatório:
    • diâmetro externo d_o=1{,}2\\ \mathrm{m} \Rightarrow raio externo r_o=0{,}6\\ \mathrm{m}.
    • diâmetro interno d_i=1{,}1\\ \mathrm{m} \Rightarrow raio interno r_i=0{,}55\\ \mathrm{m}.
  • Propriedade do material:
    • condutividade térmica k=1{,}65\\ \mathrm{kcal/(h\;m\;{}^\circ C)}.
  • Condições térmicas e potências:
    • temperatura do fluido ambiente (chuva ou ar): T_\infty=25{}^\circ\mathrm{C}.
    • temperatura da superfície externa mantida: T_{s,o}=90{}^\circ\mathrm{C}.
    • potência elétrica requerida com água externa: P_{\text{água}}=140\\ \mathrm{kW}á.
    • potência elétrica requerida com ar externo: P_{\text{ar}}=20\\ \mathrm{kW}.
    • dado de conversão: 1\\ \mathrm{kW}=860\\ \mathrm{kcal/h}.
  • O que o enunciado pede:
    a) Calcular os coeficientes de película (coeficientes convectivos) para os fluxos externos de água e de ar — ou seja, h_{\text{água}}á e h_{\text{ar}}, nas unidades compatíveis com os dados.
    b) Calcular a temperatura da superfície interna do reservatório (temperatura na face interna do casco) em ambos os casos — ou seja, T_{s,i} quando o ambiente externo é água e quando é ar.

Passo 2

Converter as potências para as unidades usadas em k (kcal/h) e calcular a área externa do reservatório.
  • Conversão das potências: P_{\text{água}} = 140\\ \mathrm{kW}=140\cdot860=120\,400\\ \mathrm{kcal/h},á
P_{\text{ar}} = 20\\ \mathrm{kW}=20\cdot860=17\,200\\ \mathrm{kcal/h}.
Comentário rápido: aqui a potência elétrica fornecida pelo aquecedor, em regime estacionário, sai pelo lado externo por convecção; portanto Q=P (taxa de calor que atravessa a parede e é entregue ao fluido externo).
  • Área externa do casco (área de convecção): A_o = 4\pi r_o^2 = 4\pi(0{,}6)^2 = 1{,}44\pi\\ \mathrm{m^2}\approx 4{,}5239\\ \mathrm{m^2}.

Passo 3

Lição curta sobre convecção e fórmula que vamos usar para obter h.
  • Fórmula da convecção na superfície externa (modelo de película uniforme):
    Q = h\,A_o\,(T_{s,o}-T_\infty).
    Onde:
    • Q é a taxa de calor transferida para o fluido externo (aqui igual à potência P em regime estacionário), com unidades \mathrm{kcal/h}.
    • h é o coeficiente de película convectivo desejado, com unidades \mathrm{kcal/(h\;m^2\;{}^\circ C)}.
    • A_o é a área externa (m^2).
    • T_{s,o} é a temperatura da superfície externa ( {}^\circ\mathrm{C}).
    • T_\infty é a temperatura do fluido longe da superfície ( {}^\circ\mathrm{C}).
  • Neste problema T_{s,o}-T_\infty = 90-25 = 65{}^\circ\mathrm{C}. Assim:
    h = \dfrac{Q}{A_o\,(T_{s,o}-T_\infty)}.

Passo 4

Calcular h para o caso com água (usar os números).
  • Substituindo: h_{\text{água}} = \dfrac{120\,400}{(1{,}44\pi)\cdot 65}\\ \mathrm{\left[\dfrac{kcal}{h\;m^2\;{}^\circ C}\right]}.áCalculemos numericamente passo a passo: (1{,}44\pi)\cdot65 = 93{,}6\pi \approx 294{,}05,
h_{\text{água}} \approx \dfrac{120\,400}{294{,}05}\approx 409{,}6\\ \mathrm{kcal/(h\;m^2\;{}^\circ C)}.á
  • Conversão prática para unidades SI (opcional, muito usada em engenharia): 1\\ \mathrm{kcal/h}=\dfrac{4184\\ \mathrm{J}}{3600\\ \mathrm{s}} \approx 1{,}162222\\ \mathrm{W},portanto h_{\text{água}}\approx 409{,}6\cdot1{,}162222\approx 476{,}0\\ \mathrm{W/(m^2\;K)}.á

Passo 5

Calcular h para o caso com ar (mesma fórmula, outro Q).
  • Substituindo: h_{\text{ar}} = \dfrac{17\,200}{(1{,}44\pi)\cdot65}\\ \mathrm{\left[\dfrac{kcal}{h\;m^2\;{}^\circ C}\right]}.Numéricamente: h_{\text{ar}} \approx \dfrac{17\,200}{294{,}05}\approx 58{,}52\\ \mathrm{kcal/(h\;m^2\;{}^\circ C)}.Em SI: h_{\text{ar}}\approx 58{,}52\cdot1{,}162222\approx 68{,}0\\ \mathrm{W/(m^2\;K)}.

Passo 6

Lição curta sobre condução em casca esférica e fórmula que vamos usar para achar a temperatura interna.
  • Para condução radial estacionária numa casca esférica (raio interior r_i, raio exterior r_o), a taxa de calor por condução é: Q = \dfrac{4\pi k\,(T_{s,i}-T_{s,o})}{\left(\dfrac{1}{r_i}-\dfrac{1}{r_o}\right)}.Reorganizando para achar a queda de temperatura do interior para o exterior: T_{s,i}-T_{s,o} = Q \cdot R_{\text{cond}}, \qquad R_{\text{cond}}=\dfrac{1}{4\pi k}\left(\dfrac{1}{r_i}-\dfrac{1}{r_o}\right).Onde:
    • T_{s,i} é a temperatura da superfície interna (que queremos).
    • T_{s,o} é a temperatura da superfície externa (aqui 90{}^\circ\mathrm{C}).
    • k é a condutividade térmica do material (aqui em \mathrm{kcal/(h\;m\;{}^\circ C)}).
    • R_{\text{cond}} é a resistência térmica de condução da casca esférica, em \mathrm{h\;{}^\circ C/kcal}.

Passo 7

Calcular a resistência de condução R_{\text{cond}} numericamente.
  • Primeiro a diferença de recíprocos dos raios:
    \dfrac{1}{r_i}-\dfrac{1}{r_o}=\dfrac{1}{0{,}55}-\dfrac{1}{0{,}6}=1{,}818181\ldots -1{,}666666\ldots =0{,}151515\\ \mathrm{m^{-1}}.
  • Agora:
    R_{\text{cond}}=\dfrac{1}{4\pi\cdot1{,}65}\cdot 0{,}151515\approx 0{,}0073096\\ \mathrm{h\;{}^\circ C/kcal}.
    Pequena interpretação: este R_{\text{cond}} diz quanto de diferença de temperatura (em {}^\circ\mathrm{C}) se cria entre as faces interna e externa para cada \mathrm{kcal/h} que atravessa a parede.

Passo 8

Calcular a temperatura da superfície interna no caso com água (potência maior).
  • Queda de temperatura através da parede:
    \Delta T_{\text{cond, água}} = Q_{\text{água}}\;R_{\text{cond}} = 120\,400\cdot 0{,}0073096 \approx 880{,}8\\ {}^\circ\mathrm{C}.áá
  • Portanto
    T_{s,i,\text{água}} = T_{s,o} + \Delta T_{\text{cond, água}} = 90 + 880{,}8 \approx 970{,}8\\ {}^\circ\mathrm{C}.áá
    Observação empática: dá um valor muito alto — não é impossível numericamente, é consequência de uma potência muito grande ( 140\\ \mathrm{kW}) que precisa atravessar uma casca fina e de condutividade limitada. Em projeto real isso indicaria problemas (materiais, segurança), mas matematicamente é o que o balanço dá.

Passo 9

Calcular a temperatura da superfície interna no caso com ar (potência menor).
  • Queda de temperatura através da parede: \Delta T_{\text{cond, ar}} = Q_{\text{ar}}\;R_{\text{cond}} = 17\,200\cdot 0{,}0073096 \approx 125{,}7\\ {}^\circ\mathrm{C}.
  • Portanto T_{s,i,\text{ar}} = 90 + 125{,}7 \approx 215{,}7\\ {}^\circ\mathrm{C}.

Passo 10

Resumo numérico final (valores arredondados razoavelmente) e interpretação curta.
  • Coeficientes de película obtidos:
    • água: h_{\text{água}}\approx 409{,}6\\ \mathrm{kcal/(h\;m^2\;{}^\circ C)}á \approx 476{,}0\\ \mathrm{W/(m^2\;K)}.
    • ar: h_{\text{ar}}\approx 58{,}52\\ \mathrm{kcal/(h\;m^2\;{}^\circ C)} \approx 68{,}0\\ \mathrm{W/(m^2\;K)}.
  • Temperaturas da superfície interna:
    • com água externa: T_{s,i,\text{água}}\approx 970{,}8{}^\circ\mathrm{C}á.
    • com ar externa: T_{s,i,\text{ar}}\approx 215{,}7{}^\circ\mathrm{C}.
Boa! Esses são os números que saem do balanço. Se precisar, faço uma versão com mais casas decimais ou repito os cálculos em unidades exclusivamente SI (W, m, K) para praticar conversões.

Resposta

a) h_{\text{água}}\approx 409{,}6\\ \mathrm{kcal/(h\;m^2\;{}^\circ C)}\approx 476{,}0\\ \mathrm{W/(m^2\;K)}á
a) h_{\text{ar}}\approx 58{,}52\\ \mathrm{kcal/(h\;m^2\;{}^\circ C)}\approx 68{,}0\\ \mathrm{W/(m^2\;K)}
b) T_{s,i,\text{água}}\approx 970{,}8{}^\circ\mathrm{C}á
b) T_{s,i,\text{ar}}\approx 215{,}7{}^\circ\mathrm{C}

Exercícios relacionados