Exercício 0.2 (Inequações). Resolva, em
, os sistemas de inequações:
Passo 1
O enunciado pede para resolver, em
As informações dadas são as duas inequações acima e a tarefa é encontrar todos os (x\in\mathbb{R}] que satisfaçam as duas ao mesmo tempo (ou seja, a interseção das soluções de cada inequação).]
Passo 2
Vamos resolver cada inequação separadamente e depois intersectar os resultados. Primeiro trato da inequação quadrática
.
Passo 3
Resolver a inequação quadrática por fatoração e análise de sinal.
Calculo o discriminante para identificar as raízes da equação associada
.
Como
, há duas raízes reais. As raízes são
Logo as raízes são
Podemos fatorar o polinômio usando as raízes:
Agora a análise de sinal. Como o coeficiente de
é positivo (
), a parábola abre para cima, portanto o produto
é:
- positivo ou zero fora do intervalo entre as raízes, isto é para
ou ; - negativo estritamente entre as raízes, isto é para
.
Como queremos
, a solução da inequação quadrática é
ou em notação de intervalos:
Para convencimento rápido, alguns testes:
- em
: (fora à esquerda → positivo); - em
: (entre raízes → negativo); - em
: (à direita → positivo).
Isso confere com o intervalo acima.
Passo 4
Resolver a inequação linear
.
Subtraindo
de ambos os lados (operações que preservam desigualdade):
Portanto a solução da segunda inequação é o intervalo
Passo 5
Agora fazemos a interseção (AND lógico) das soluções das duas inequações:
Interseção por partes:
- Interseção de
com é , porque precisamos de e . - Interseção de
com é , já que todo satisfaz .
Unindo as duas partes, a solução do sistema é
Verificação de pontos limites:
-
não pertence pois a segunda inequação exige (estritamente maior). -
pertence pois na primeira inequação dá zero ( ) e na segunda . -
pertence pois na primeira dá zero e na segunda .
Passo 6
Resumo didático rápido para usar na prova:
- Resolva cada inequação separadamente.
- Para uma quadrática, calcule raízes (por fórmula ou fatoração), faça análise de sinal (parábola para cima → ≥0 fora do intervalo entre raízes).
- Para inequações lineares, isole
. - No sistema, faça a interseção das soluções; preste atenção em sinais estritos (
) e não estritos ( ) ao decidir inclusão de extremos.