Exercício 0.2 (Inequações). Resolva, em \mathbb{R}, os sistemas de inequações:
\left\{\begin{array}{l}x^{2}+6 x+8 \geq 0 \\\ x+5>0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em \mathbb{R}\), o sistema de inequações \[\begin{cases} x^{2}+6x+8 \geq 0\\[4pt] x+5>0 \end{cases}
As informações dadas são as duas inequações acima e a tarefa é encontrar todos os (x\in\mathbb{R}] que satisfaçam as duas ao mesmo tempo (ou seja, a interseção das soluções de cada inequação).]

Passo 2

Vamos resolver cada inequação separadamente e depois intersectar os resultados. Primeiro trato da inequação quadrática \;x^{2}+6x+8 \geq 0.

Passo 3

Resolver a inequação quadrática por fatoração e análise de sinal.
Calculo o discriminante para identificar as raízes da equação associada \;x^{2}+6x+8=0.
\Delta = b^{2}-4ac = 6^{2}-4\cdot1\cdot8 = 36-32 = 4.
Como \Delta=4\ge 0, há duas raízes reais. As raízes são
x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-6\pm2}{2}.
Logo as raízes são
x_1 = \frac{-6-2}{2} = -4,\qquad x_2 = \frac{-6+2}{2} = -2.
Podemos fatorar o polinômio usando as raízes:
x^{2}+6x+8 = (x+4)(x+2).
Agora a análise de sinal. Como o coeficiente de x^{2} é positivo ( a=1>0), a parábola abre para cima, portanto o produto (x+4)(x+2) é:
  • positivo ou zero fora do intervalo entre as raízes, isto é para x\leq -4 ou x\geq -2;
  • negativo estritamente entre as raízes, isto é para -4<x<-2.
Como queremos (x+4)(x+2)\ge 0, a solução da inequação quadrática é
\{x\in\mathbb{R}\mid x\le -4\}\\ \cup\\ \{x\in\mathbb{R}\mid x\ge -2\},
ou em notação de intervalos:
(-\infty,-4]\\ \cup\\ [-2,\infty).
Para convencimento rápido, alguns testes:
  • em x=-6: (-6+4)(-6+2)=(-2)(-4)=8>0 (fora à esquerda → positivo);
  • em x=-3: (-3+4)(-3+2)=(1)(-1)=-1<0 (entre raízes → negativo);
  • em x=0: (4)(2)=8>0 (à direita → positivo).
    Isso confere com o intervalo acima.

Passo 4

Resolver a inequação linear \;x+5>0.
Subtraindo 5 de ambos os lados (operações que preservam desigualdade):
x> -5.
Portanto a solução da segunda inequação é o intervalo
(-5,\infty).

Passo 5

Agora fazemos a interseção (AND lógico) das soluções das duas inequações:
\bigl((-\infty,-4]\cup[-2,\infty)\bigr)\\ \cap\\ (-5,\infty).
Interseção por partes:
  • Interseção de (-\infty,-4] com (-5,\infty) é (-5,-4], porque precisamos de x>-5 e x\le-4.
  • Interseção de [-2,\infty) com (-5,\infty) é [-2,\infty), já que todo x\ge -2 satisfaz x>-5.
Unindo as duas partes, a solução do sistema é
(-5,-4]\\ \cup\\ [-2,\infty).
Verificação de pontos limites:
  • x=-5 não pertence pois a segunda inequação exige x>-5 (estritamente maior).
  • x=-4 pertence pois na primeira inequação dá zero ( \ge0) e na segunda -4+5=1>0.
  • x=-2 pertence pois na primeira dá zero e na segunda -2+5=3>0.

Passo 6

Resumo didático rápido para usar na prova:
  • Resolva cada inequação separadamente.
  • Para uma quadrática, calcule raízes (por fórmula ou fatoração), faça análise de sinal (parábola para cima → ≥0 fora do intervalo entre raízes).
  • Para inequações lineares, isole x.
  • No sistema, faça a interseção das soluções; preste atenção em sinais estritos ( >) e não estritos ( \ge) ao decidir inclusão de extremos.

Resposta

(-5,-4]\cup[-2,\infty)

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