Exercício 1 a) Inicialmente usando variáveis reais, suponha que a solução demandada seja da forma x_{\text {est }}(t)=A \cdot \cos (\gamma t+\varphi)+B \cdot \operatorname{sen}(\gamma t+\varphi). Daí use o método dos coeficientes à determinar para calcular as constantes A e B.
Exercício 1 b) Agora, usando variáveis complexas, ou seja, z_{\text {est }}(t)=x_{\text {est }}(t)+i y_{\text {est }}(t). A partir da Fórmula de Euler, observe que F_{0} \cdot \cos (\gamma t+\varphi)+i F_{0} \cdot \operatorname{sen}(\gamma t+\varphi)=F_{0} \cdot e^{i(\gamma t+\varphi)}. Daí, suponha que a solução requerida seja da forma z_{\text {est }}(t)=M \cdot F_{0} \cdot e^{i(\gamma t+\varphi)}. Calcule a constante M pelo método do coeficiente à determinar. Lembre-se de que, nesse caso, a solução pedida é simplesmente a parte real x_{\text {est }}(t) da solução complexa z_{\text {est }}(t) obtida.

Passo 1

O enunciado pede para determinar constantes em uma solução por coeficientes a determinar de uma EDO forçada, mas não informa qual é a equação diferencial que relaciona x_{\text{est}}(t) (ou z_{\text{est}}(t)) com o termo forçante F_{0}\cos(\gamma t+\varphi). Sem conhecer a forma exata da EDO (por exemplo, se é
x'' + \omega_{0}^{2}x = F_{0}\cos(\gamma t+\varphi),
ou se inclui amortecimento, etc.), não há como aplicar o método dos coeficientes a determinar e achar A, B ou M.

Passo 2

Para usar o método dos coeficientes a determinar é essencial saber qual é a equação diferencial que a solução deve satisfazer. Essa equação define o operador diferencial (por exemplo, D^{2}+\omega_{0}^{2}, ou D^{2}+2\zeta\omega_{n}D+\omega_{n}^{2}, etc.) e, portanto, permite substituir a forma proposta de x_{\text{est}}(t) na EDO para resolver para as constantes.

Resposta

Não é possível resolver sem a equação diferencial que deve ser satisfeita pela solução estimada.

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