Exercício 1) Suponha que a força externa é dada por F(t)=F_{0} \cdot \cos (\gamma t+\varphi).
Mostre que a solução estacionária nesse caso é
x_{\mathrm{est}}(t)=\frac{F_{0}\left(\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}\right)}{m\left[\left(\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}\right)^{2}+\frac{b^{2} \gamma^{2}}{m^{2}}\right]} \cdot \cos (\gamma t+\varphi)+\frac{b \gamma F_{0}}{m^{2}\left[\left(\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}\right)^{2}+\frac{b^{2} \gamma^{2}}{m^{2}}\right]} \cdot \operatorname{sen}(\gamma t+\varphi)

Passo 1

O enunciado dá a equação do oscilador amortecido forçado
m\,\ddot x + b\,\dot x + k\,x = F_{0}\cos(\gamma t + \varphi)
e pede a solução estacionária (regime permanente), isto é, a solução particular de mesma frequência da força externa. Vamos usar o método de tentativa de solução particular harmônica.

Passo 2

Proponha a solução particular
x_{\mathrm{est}}(t)=C\cos(\gamma t+\varphi)+D\sin(\gamma t+\varphi).
Então
\dot x_{\mathrm{est}} = -C\,\gamma\sin(\gamma t+\varphi)+D\,\gamma\cos(\gamma t+\varphi),
\ddot x_{\mathrm{est}} = -C\,\gamma^2\cos(\gamma t+\varphi)-D\,\gamma^2\sin(\gamma t+\varphi).

Passo 3

Substituindo em m\ddot x + b\dot x + kx = F_{0}\cos(\gamma t+\varphi) e agrupando coeficientes de \cos(\gamma t+\varphi) e \sin(\gamma t+\varphi), obtemos o sistema linear
\bigl(k - m\gamma^2\bigr)C + b\gamma\,D = F_{0},
-\,b\gamma\,C + \bigl(k - m\gamma^2\bigr)D = 0.

Passo 4

Da segunda equação vem
D = \frac{b\gamma}{\,k - m\gamma^2\,}\;C.
Substituindo na primeira:
\bigl(k - m\gamma^2\bigr)C + b\gamma\,\frac{b\gamma}{k - m\gamma^2}\,C = F_{0} \;\Longrightarrow\; C\frac{\,(k - m\gamma^2)^2 + b^2\gamma^2\,}{\,k - m\gamma^2\,} = F_{0},
C = \frac{F_{0}\,(k - m\gamma^2)}{(k - m\gamma^2)^2 + b^2\gamma^2}, \quad D = \frac{b\gamma\,F_{0}}{(k - m\gamma^2)^2 + b^2\gamma^2}.

Passo 5

Como k = m\,\omega_{0}^{2}, temos k - m\gamma^2 = m(\omega_{0}^{2}-\gamma^2) e
(k - m\gamma^2)^2 + b^2\gamma^2 = m^2(\omega_{0}^2 - \gamma^2)^2 + b^2\gamma^2 = m^2\Bigl[(\omega_{0}^2 - \gamma^2)^2 + \tfrac{b^2\gamma^2}{m^2}\Bigr].
Assim
C = \frac{F_{0}\,m(\omega_{0}^2-\gamma^2)}{m^2\bigl[(\omega_{0}^2-\gamma^2)^2 + \tfrac{b^2\gamma^2}{m^2}\bigr]} = \frac{F_{0}(\omega_{0}^2-\gamma^2)}{m\bigl[(\omega_{0}^2-\gamma^2)^2 + \tfrac{b^2\gamma^2}{m^2}\bigr]},
D = \frac{b\gamma\,F_{0}}{m^2\bigl[(\omega_{0}^2-\gamma^2)^2 + \tfrac{b^2\gamma^2}{m^2}\bigr]}.
Logo a solução estacionária é exatamente
x_{\mathrm{est}}(t) = C\cos(\gamma t+\varphi) + D\sin(\gamma t+\varphi)
com os C e D acima.

Resposta

x_{\mathrm{est}}(t) = \frac{F_{0}\,(\omega_{0}^{2}-\gamma^{2})} {m\bigl[(\omega_{0}^{2}-\gamma^{2})^{2}+\tfrac{b^{2}\gamma^{2}}{m^{2}}\bigr]}\, \cos(\gamma t+\varphi) \;+\; \frac{b\gamma\,F_{0}} {m^{2}\bigl[(\omega_{0}^{2}-\gamma^{2})^{2}+\tfrac{b^{2}\gamma^{2}}{m^{2}}\bigr]}\, \sin(\gamma t+\varphi).

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