Exercício 6. (Integral de Fluxo) Compute o fluxo do campo vetorial \mathbf{F}(x, y, z)=\langle x, 2 y, 3 z\rangle através da caixa fechada com faces 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1, e 0 \leq z \leq 1 e normal apontando para fora. (Lembre-se que você deve computar os fluxos pelas faces e somar.)

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo \mathbf{F}(x,y,z)=\langle x,2y,3z\rangle através da superfície fechada que é a união das seis faces do cubo 0\le x,y,z\le1, com normais voltadas para fora. Para cada face plana, usamos a definição de fluxo
\Phi = \iint_{S} \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS
onde \mathbf{n} é a normal unitária externa e dS é o elemento de área.

Passo 2

Faces em x=1 e x=0:
  • Em x=1, a normal externa é \mathbf{n}=(1,0,0). Nesse caso
    \mathbf{F}(1,y,z)\cdot\mathbf{n}=1.
    Como 0\le y\le1, 0\le z\le1, \Phi_{x=1} =\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}1\,dy\,dz =1\,.
  • Em x=0, a normal externa é \mathbf{n}=(-1,0,0).
    \mathbf{F}(0,y,z)=(0,2y,3z) e
    \mathbf{F}(0,y,z)\cdot\mathbf{n}=0.
    Logo \Phi_{x=0}=0\,.

Passo 3

Faces em y=1 e y=0:
  • Em y=1, \mathbf{n}=(0,1,0) e
    \mathbf{F}(x,1,z)\cdot\mathbf{n}=2.
    Como 0\le x,z\le1, \Phi_{y=1} =\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}2\,dx\,dz =2\,.
  • Em y=0, \mathbf{n}=(0,-1,0) e
    \mathbf{F}(x,0,z)=(x,0,3z) dá produto escalar zero. \Phi_{y=0}=0\,.

Passo 4

Faces em z=1 e z=0:
  • Em z=1, \mathbf{n}=(0,0,1) e
    \mathbf{F}(x,y,1)\cdot\mathbf{n}=3.
    Como 0\le x,y\le1, \Phi_{z=1} =\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}3\,dx\,dy =3\,.
  • Em z=0, \mathbf{n}=(0,0,-1) e
    \mathbf{F}(x,y,0)=(x,2y,0) dá produto escalar zero. \Phi_{z=0}=0\,.

Passo 5

Somando os fluxos das seis faces:
\Phi_{\text{total}} = \bigl(1+0\bigr) + \bigl(2+0\bigr) + \bigl(3+0\bigr) =6\,.

Resposta

O fluxo total através do cubo é 6.

Exercícios relacionados