Exercício 4. (Integral de Superfície de Função) Obtenha a massa do funil fino com a forma da superfície z=1 /\left(x^{2}+y^{2}\right) para 1 \leq z \leq 4, sabendo que sua densidade de massa é dada por \rho(x, y, z)=z.

Passo 1

O enunciado pede a massa de uma superfície S dada por
z = \frac{1}{x^2 + y^2},
com 1 \le z \le 4, e densidade \rho(x,y,z)=z.
O conteúdo é integral de superfície de uma função escalar sobre o gráfico de z=f(x,y).
Vamos usar a fórmula
\text{massa} = \iint_{D}\rho\bigl(x,y,f(x,y)\bigr)\,\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\;dA,
onde D é a projeção de S no plano xy.

Passo 2

Para projetar S em xy, note que
1 \le \frac{1}{x^2+y^2}\le 4 \quad\Longrightarrow\quad \frac14 \le x^2+y^2 \le 1.
Em coordenadas polares isso dá
\frac12 \le r\le1, \quad 0\le \theta\le 2\pi.

Passo 3

Escrevendo z=f(r,\theta)=1/r^2, calculamos
f_r = \frac{\partial}{\partial r}\Bigl(r^{-2}\Bigr) = -2\,r^{-3}, \quad f_\theta = 0.
Logo
1 + f_r^2 + f_\theta^2 = 1 + 4\,r^{-6} = \frac{r^6 + 4}{r^6},
e o elemento de área da superfície é
dS = \sqrt{1+f_r^2+f_\theta^2}\;r\,dr\,d\theta = \frac{\sqrt{r^6+4}}{r^3}\;r\,dr\,d\theta = \frac{\sqrt{r^6+4}}{r^2}\;dr\,d\theta.

Passo 4

A densidade é \rho=z=1/r^2. Assim o elemento de massa é
\rho\,dS = \frac{1}{r^2}\;\frac{\sqrt{r^6+4}}{r^2}\;dr\,d\theta = \frac{\sqrt{r^6+4}}{r^4}\;dr\,d\theta.
Portanto a massa total é
M = \int_{\theta=0}^{2\pi}\!\!\int_{r=1/2}^{1} \frac{\sqrt{r^6+4}}{r^4}\;dr\,d\theta = 2\pi \int_{1/2}^{1}\frac{\sqrt{r^6+4}}{r^4}\;dr.

Passo 5

Para calcular
\displaystyle I=\int_{1/2}^{1}\frac{\sqrt{r^6+4}}{r^4}\,dr,
fazemos a substituição
t = \frac1{r^3}, \quad dt = -3\,r^{-4}\,dr \quad\Longrightarrow\quad r^{-4}\,dr = -\frac{dt}{3}.
Quando r=1/2, t=8; quando r=1, t=1. Então
I = \int_{t=8}^{1} \sqrt{\frac{1}{t^2}+4}\,\bigl(-\tfrac{dt}{3}\bigr) = \frac13\int_{1}^{8}\frac{\sqrt{1+4t^2}}{t}\;dt.

Passo 6

Usamos a primitiva conhecida
\int \frac{\sqrt{1+4t^2}}{t}\,dt = \sqrt{1+4t^2} - \ln\!\Bigl(\frac{1+\sqrt{1+4t^2}}{2t}\Bigr) + C.
Logo, avaliando de 1 a 8,
I = \frac13\Bigl[ \Bigl(\sqrt{1+4\cdot8^2} - \ln\!\frac{1+\sqrt{1+4\cdot8^2}}{16}\Bigr) - \Bigl(\sqrt{1+4\cdot1^2} - \ln\!\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Bigr) \Bigr].

Passo 7

Substituindo em M=2\pi\,I e simplificando logaritmos, obtemos
M = \frac{2\pi}{3}\Bigl[ \sqrt{257}-\sqrt{5} - \ln\!\bigl(\tfrac{1+\sqrt{257}}{16}\bigr) + \ln\!\bigl(\tfrac{1+\sqrt{5}}{2}\bigr) \Bigr] = \frac{2\pi}{3}\Bigl[ \sqrt{257}-\sqrt{5} - \ln\!\frac{8\,(1+\sqrt{5})}{\,1+\sqrt{257}\,} \Bigr].

Resposta

M = \frac{2\pi}{3}\Bigl[ \sqrt{257}-\sqrt{5} - \ln\!\frac{8\,(1+\sqrt{5})}{1+\sqrt{257}} \Bigr].

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