Exercício 4. (Integral de Superfície de Função) Obtenha a massa do funil fino com a forma da superfície
para
, sabendo que sua densidade de massa é dada por
.
Passo 1
O enunciado pede a massa de uma superfície
dada por
com
, e densidade
.
O conteúdo é integral de superfície de uma função escalar sobre o gráfico de .
Vamos usar a fórmula
O conteúdo é integral de superfície de uma função escalar sobre o gráfico de
Vamos usar a fórmula
onde
é a projeção de
no plano
.
Passo 2
Para projetar
em
, note que
Em coordenadas polares isso dá
Passo 3
Escrevendo
, calculamos
Logo
e o elemento de área da superfície é
Passo 4
A densidade é
. Assim o elemento de massa é
Portanto a massa total é
Passo 5
Para calcular
,
fazemos a substituição
fazemos a substituição
Quando
,
; quando
,
. Então
Passo 6
Usamos a primitiva conhecida
Logo, avaliando de
a
,
Passo 7
Substituindo em
e simplificando logaritmos, obtemos