Exercício 5. (Integral de Fluxo) Seja
. Calcule o fluxo do campo vetorial
através da parte do parabolóide
que fica acima do plano
. Assuma que a superfície
dada está com normal unitária que aponta para cima.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
através da porção do parabolóide
acima de
, com normal unitária apontando para cima. Vamos usar a fórmula de fluxo para gráfico de função
:
onde
e
é a projeção de
no plano
.
Passo 2
Aqui
, logo
e
. Substituindo em
com
dá
logo esses termos se cancelam e sobra
Passo 3
A região
é o disco
(pois
implica
). Em coordenadas polares
,
, o fluxo fica
Passo 4
Calculamos a integral radial definindo
,
:
Multiplicando pelo fator angular
resulta
Resposta
O fluxo de
através de
é
.