Exercício 5. (Integral de Fluxo) Seja \mathbf{F}(x, y, z)=\left\langle y,-x, z^{2}\right\rangle. Calcule o fluxo do campo vetorial \mathbf{F} através da parte do parabolóide z=5-x^{2}-y^{2} que fica acima do plano z=1. Assuma que a superfície S dada está com normal unitária que aponta para cima.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \mathbf{F}(x,y,z)=\langle y,-x,z^{2}\rangle através da porção do parabolóide
z = 5 - x^{2} - y^{2}
acima de z=1, com normal unitária apontando para cima. Vamos usar a fórmula de fluxo para gráfico de função z=f(x,y):
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = \iint_{D} \bigl(-P\,f_{x}-Q\,f_{y}+R\bigr)\,dA,
onde \mathbf{F}=\langle P,Q,R\rangle e D é a projeção de S no plano xy.

Passo 2

Aqui f(x,y)=5-x^{2}-y^{2}, logo
f_{x} = -2x, \quad f_{y} = -2y,
e (P,Q,R)=(y,-x,z^{2}). Substituindo em -P\,f_{x}-Q\,f_{y}+R com z=f(x,y)
-P\,f_{x} = -y\cdot(-2x)=2xy, \quad -Q\,f_{y} = -(-x)\cdot(-2y)=-2xy,
logo esses termos se cancelam e sobra
- P\,f_{x} - Q\,f_{y} + R = z^{2} = \bigl(5 - x^{2} - y^{2}\bigr)^{2}.

Passo 3

A região D é o disco x^{2}+y^{2}\le4 (pois z\ge1 implica 5-x^{2}-y^{2}\ge1). Em coordenadas polares (x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta), dA=r\,dr\,d\theta, o fluxo fica
\iint_{D} (5 - r^{2})^{2}\,r\,dr\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{2} (5 - r^{2})^{2}\,r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calculamos a integral radial definindo u=5-r^{2}, du=-2r\,dr:
\int_{0}^{2}(5-r^{2})^{2}r\,dr = \int_{u=5}^{1} u^{2}\,\bigl(-\tfrac12\,du\bigr) = \tfrac12\int_{1}^{5}u^{2}\,du = \tfrac12\Bigl[\tfrac{u^{3}}{3}\Bigr]_{1}^{5} = \tfrac12\cdot\tfrac{124}{3} = \tfrac{62}{3}.
Multiplicando pelo fator angular 2\pi resulta
\text{fluxo} = 2\pi\cdot \tfrac{62}{3} = \tfrac{124\pi}{3}.

Resposta

O fluxo de \mathbf{F} através de S é \displaystyle \frac{124\pi}{3}.

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