Exercício 3. (Integral de Superfície de Função) Seja
a superfície do tetraedro de vértices
, e (
). Calcule a integral de superfície
. Sugestão: a superfície total consiste de quatro faces triangulares separadas.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície
onde
é a superfície do tetraedro com vértices
,
,
e
.
Como é formado por quatro faces triangulares e a função
é linear, podemos usar o fato de que, em cada triângulo,
Como
Passo 2
Identificamos as quatro faces:
. Face no plano
com vértices
.
. Face no plano
com vértices
.
. Face no plano
com vértices
.
. Face “inclinada” com vértices
.
Passo 3
Para cada uma das três faces nos planos coordenados temos:
- Área do triângulo
. - Centroide
no caso (e permutações semelhantes para e ). - Em cada caso
Logo, cada uma dessas três faces contribui com
Total das três faces
Passo 4
Na face inclinada
:
- Vetores de arestas:
, . - Produto vetorial
e - Área
- Centroide
, onde
. - Contribuição
Passo 5
Somando todas as contribuições: