Exercício 3. (Integral de Superfície de Função) Seja S a superfície do tetraedro de vértices (2,0,0),(0,2,0),(0,0,2), e ( 0,0,0 ). Calcule a integral de superfície \iint_{S}(x+y+z) d S. Sugestão: a superfície total consiste de quatro faces triangulares separadas.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S}(x+y+z)\,dS
onde S é a superfície do tetraedro com vértices (2,0,0), (0,2,0), (0,0,2) e (0,0,0).
Como S é formado por quatro faces triangulares e a função f(x,y,z)=x+y+z é linear, podemos usar o fato de que, em cada triângulo,
\iint_{\text{triângulo}}f\,dS = f(\text{centroide})\times \text{área do triângulo}.âáâ

Passo 2

Identificamos as quatro faces:
1. Face no plano z=0 com vértices (0,0,0),(2,0,0),(0,2,0).
2. Face no plano x=0 com vértices (0,0,0),(0,2,0),(0,0,2).
3. Face no plano y=0 com vértices (0,0,0),(2,0,0),(0,0,2).
4. Face “inclinada” com vértices (2,0,0),(0,2,0),(0,0,2).

Passo 3

Para cada uma das três faces nos planos coordenados temos:
  • Área do triângulo = \tfrac12\cdot2\cdot2=2.
  • Centroide = \bigl(\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3},0\bigr) no caso z=0 (e permutações semelhantes para x=0 e y=0).
  • Em cada caso f(\text{centroide}) = \tfrac{2}{3}+\tfrac{2}{3}+0 = \tfrac{4}{3}.
    Logo, cada uma dessas três faces contribui com
\frac{4}{3}\times 2 = \frac{8}{3}.
Total das três faces = 3\times\frac{8}{3}=8.

Passo 4

Na face inclinada (2,0,0)\to(0,2,0)\to(0,0,2):
  • Vetores de arestas:
    \mathbf{u}=(-2,2,0), \mathbf{v}=(-2,0,2).
  • Produto vetorial \mathbf{u}\times\mathbf{v}=(4,4,4) e \|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|=4\sqrt{3}.
  • Área = \tfrac12\cdot4\sqrt{3}=2\sqrt{3}.
  • Centroide = \bigl(\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3}\bigr), onde
    f(\text{centroide}) = 2.
  • Contribuição = 2\times 2\sqrt{3}=4\sqrt{3}.

Passo 5

Somando todas as contribuições:
8 \;+\;4\sqrt{3}.

Resposta

8 + 4\sqrt{3}

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