Exercício 2. (Superfícies Parametrizadas) Parametrize a superfície S que é parte do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} que está no interior da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=9.

Passo 1

O enunciado pede a parametrização da parte da superfície do cone
z = \sqrt{x^2 + y^2}
que fica “dentro” da esfera
x^2 + y^2 + z^2 = 9.
O conteúdo é parametrização de superfícies usando coordenadas cilíndricas, pois o cone sugere usar r e \theta.

Passo 2

Na coordenada cilíndrica temos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = r
e a condição de estar na esfera
x^2 + y^2 + z^2 = r^2 + r^2 = 2r^2 = 9
implica
r = \sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{3}{\sqrt2}.

Passo 3

Portanto o domínio de parâmetros é
0 \,\le r \,\le \frac{3}{\sqrt2},\quad 0 \,\le \theta < 2\pi,
e a parametrização da superfície S fica
\mathbf{r}(r,\theta) = \bigl(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;r\bigr).

Resposta

A parametrização é
\mathbf{r}(r,\theta) = \bigl(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;r\bigr), \quad 0 \le r \le \tfrac{3}{\sqrt2},\;\;0 \le \theta < 2\pi.

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