Exercício 1. (Superfícies Parametrizadas) Obtenha uma parametrização \mathbf{r}(u, v) para a porção do cilindro x^{2}+z^{2}=4 entre os planos y=0 e y=x+3. Especifique os domínios de u e v.

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização da parte do cilindro
x^{2}+z^{2}=4
que fica entre os planos
y=0 \quad\text{e}\quad y=x+3.
Isso é um problema de superfícies parametrizadas: vamos representar cada ponto da superfície por dois parâmetros, digamos u (para o ângulo em torno do eixo y) e v (para a altura y).

Passo 2

Para parametrizar o cilindro de raio 2 ao redor do eixo y, usamos o parâmetro angular u:
x = 2\cos u, \qquad z = 2\sin u,
com u variando de 0 a 2\pi.

Passo 3

O segundo parâmetro v vai percorrer a direção y. Em cada reta geratriz do cilindro (fixo u), y vai do plano inferior y=0 até o plano superior y=x+3. Como x=2\cos u, isso dá
0 \;\le\; v \;\le\; 2\cos u + 3.

Passo 4

Juntando tudo, definimos a parametrização
\mathbf{r}(u,v) = \bigl(2\cos u,\;v,\;2\sin u\bigr).
O domínio dos parâmetros fica
0 \le u \le 2\pi, \qquad 0 \le v \le 2\cos u + 3.

Resposta

\mathbf{r}(u,v) = \bigl(2\cos u,\;v,\;2\sin u\bigr), \quad u\in[0,2\pi], \quad v\in\bigl[0,\,2\cos u+3\bigr].

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