Exercício 1. Nos itens abaixo, verifique se as formas são exatas, caso seja, resolva.
(2 x y^2-3) d x+(2 x^2 y+4) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(2x y^2-3),dx + (2x^2y+4),dy = 0
e pede para verificar se essa forma M(x,y),dx + N(x,y),dy é exata. Se for exata, precisamos encontrar uma função potencial Psi(x,y) tal que
partial Psipartial x = M(x,y), partial Psipartial y = N(x,y)

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = 2x y^2 - 3, N(x,y) = 2x^2y + 4
Para ser exata, devemos ter
partial Mpartial y = partial Npartial x
Calculando,
partial Mpartial y = partialpartial y(2x y^2-3) = 4x y,
partial Npartial x = partialpartial x(2x^2y+4) = 4x y
Como partial Mpartial y = partial Npartial x, a forma é exata.

Passo 3

Para achar Psi(x,y), integramos M em relação a x:
Psi(x,y) = integral (2x y^2-3),dx = x^2y^2 - 3x + h(y),
onde h(y) é uma função que só depende de y.

Passo 4

Agora usamos partial Psi/partial y = N para determinar h(y). Calculamos
partial Psipartial y = 2x^2y + h'(y)
e comparamos com N(x,y)=2x^2y+4. Logo
2x^2y + h'(y) = 2x^2y + 4 Longrightarrow h'(y)=4 Longrightarrow h(y)=4y + C
Portanto
Psi(x,y) = x^2y^2 - 3x + 4y

Resposta

A solução geral, em forma implícita, é
x^2y^2 - 3x + 4y = C

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