Exercício 1. Nos itens abaixo, verifique se as formas são exatas, caso seja, resolva.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para verificar se a forma dada é exata e, se for, resolver a equação diferencial. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais, mais especificamente, Equações Diferenciais Exatas. Vamos precisar identificar os termos da equação, verificar a condição de exatidão e, se for o caso, integrar para achar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma mais familiar. A equação dada é:
Vamos rearrumar os termos para isolarmos
:
Agora, organizamos a equação na forma padrão
. Para isso, multiplicamos ambos os lados por
:
Assim, identificamos:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a forma é exata. Uma forma
é exata se satisfaz a condição:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Primeiro, calcular
:
Agora, calcular
:
Comparando as duas derivadas:
Como
, a condição de exatidão não é satisfeita. Portanto, a forma não é exata.
Passo 4
Embora a condição de exatidão não tenha sido satisfeita diretamente, podemos tentar encontrar um fator integrante que multiplique a equação e a torne exata. Contudo, como o exercício pede apenas para verificar se é exata e resolver se for, e não menciona a necessidade de encontrar um fator integrante, concluímos que a forma não é exata e, portanto, não podemos resolver diretamente usando métodos de equações exatas.
Resposta
A forma dada não é exata, portanto não podemos resolver a equação diferencial usando esse método.