Exercício 1. Nos itens abaixo, verifique se as formas são exatas, caso seja, resolva.
(2 y-1x+cos 3 x) d yd x+yx^2-4 x^3+3 y cos 3 x=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para verificar se a forma dada é exata e, se for, resolver a equação diferencial. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais, mais especificamente, Equações Diferenciais Exatas. Vamos precisar identificar os termos da equação, verificar a condição de exatidão e, se for o caso, integrar para achar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma mais familiar. A equação dada é:
(2y - 1x + cos 3x) dydx + yx^2 - 4x^3 + 3y cos 3x = 0
Vamos rearrumar os termos para isolarmos dydx :
(2y - 1x + cos 3x) dydx = -( yx^2 - 4x^3 + 3y cos 3x )
Agora, organizamos a equação na forma padrão M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 . Para isso, multiplicamos ambos os lados por dx :
(2y - 1x + cos 3x) dy + ( yx^2 - 4x^3 + 3y cos 3x ) dx = 0
Assim, identificamos:
M(x,y) = yx^2 - 4x^3 + 3y cos 3x
N(x,y) = 2y - 1x + cos 3x

Passo 3

Agora, vamos verificar se a forma é exata. Uma forma M dx + N dy = 0 é exata se satisfaz a condição:
partial Mpartial y = partial Npartial x
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Primeiro, calcular partial Mpartial y :
partial Mpartial y = partialpartial y ( yx^2 - 4x^3 + 3y cos 3x ) = 1x^2 + 3 cos 3x
Agora, calcular partial Npartial x :
partial Npartial x = partialpartial x ( 2y - 1x + cos 3x ) = -2y - 1x^2 - 3 sin 3x
Comparando as duas derivadas:
partial Mpartial y = 1x^2 + 3 cos 3x
partial Npartial x = -2y - 1x^2 - 3 sin 3x
Como partial Mpartial y neq partial Npartial x , a condição de exatidão não é satisfeita. Portanto, a forma não é exata.

Passo 4

Embora a condição de exatidão não tenha sido satisfeita diretamente, podemos tentar encontrar um fator integrante que multiplique a equação e a torne exata. Contudo, como o exercício pede apenas para verificar se é exata e resolver se for, e não menciona a necessidade de encontrar um fator integrante, concluímos que a forma não é exata e, portanto, não podemos resolver diretamente usando métodos de equações exatas.

Resposta

A forma dada não é exata, portanto não podemos resolver a equação diferencial usando esse método.

Exercícios relacionados