Exercício 1. Nos itens abaixo, verifique se as formas são exatas, caso seja, resolva.
(x-y^3+y^2 sen x) d x=(3 x y^2+2 y cos x) d y

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial dada por:
(x - y^3 + y^2 sin x) , dx = (3 x y^2 + 2 y cos x ) , dy
O que precisamos fazer aqui é verificar se essa equação é exata. Se for, a gente resolve. Para isso, vamos precisar entender o que é uma equação diferencial exata e como verificar essa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão:
M(x, y) , dx + N(x, y) , dy = 0
Comparando com a equação dada, temos:
M(x, y) = x - y^3 + y^2 sin x
N(x, y) = -(3 x y^2 + 2 y cos x )
Mas para facilitar os cálculos, podemos multiplicar ambos os lados por -1, assim:
M(x, y) = -x + y^3 - y^2 sin x
N(x, y) = 3 x y^2 + 2 y cos x

Passo 3

Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de M em relação a y e de N em relação a x e ver se elas são iguais. Ou seja, verificar se:
partial Mpartial y = partial Npartial x
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.

Passo 4

Primeiro, calculando partial Mpartial y :
M(x, y) = -x + y^3 - y^2 sin x
Derivando em relação a y :
partial Mpartial y = 3y^2 - 2y sin x

Passo 5

Agora, calculando partial Npartial x :
N(x, y) = 3 x y^2 + 2 y cos x
Derivando em relação a x :
partial Npartial x = 3 y^2 - 2 y sin x

Passo 6

Comparando as duas derivadas:
partial Mpartial y = 3y^2 - 2y sin x
partial Npartial x = 3 y^2 - 2 y sin x
Como partial Mpartial y = partial Npartial x , a equação diferencial é exata.

Passo 7

Como a equação é exata, podemos encontrar uma função Phi(x, y) tal que:
partial Phipartial x = M(x, y)
partial Phipartial y = N(x, y)
Vamos encontrar Phi(x, y) integrando M em relação a x .

Passo 8

Integrando M(x, y) = -x + y^3 - y^2 sin x em relação a x :
Phi(x, y) = integral (-x + y^3 - y^2 sin x) , dx
Vamos integrar termo por termo:
integral -x , dx = -12x^2
integral y^3 , dx = y^3 x
integral -y^2 sin x , dx = y^2 cos x
Então, juntando tudo:
Phi(x, y) = -12x^2 + y^3 x + y^2 cos x + h(y)
Aqui, h(y) é uma função que depende só de y e que aparece porque a constante de integração pode depender de y .

Passo 9

Agora, vamos usar a segunda condição partial Phipartial y = N(x, y) para encontrar h(y) .
Derivando Phi(x, y) em relação a y :
partial Phipartial y = 3y^2 x + 2y cos x + h'(y)
Igualando a N(x, y) :
3y^2 x + 2y cos x + h'(y) = 3 y^2 + 2 y cos x
Simplificando:
3y^2 x + h'(y) = 3 y^2
Para que isso seja válido para qualquer x e y , o termo com x deve desaparecer, então 3y^2 x deve ser zero, o que só acontece se y = 0 , mas isso não cobre todos os casos. Parece que houve um erro na nossa integração. Vamos revisar.

Passo 10

Na verdade,vamos corrigir o passo anterior. Ao integrar M(x, y) , a função h(y) deve ser tal que, ao derivar Phi em relação a y , apenas os termos que dependem de y sejam ajustados. Portanto, o termo com x ficou correto, então o h'(y) deve compensar os termos que não dependem de x . Vamos refazer:
Reescrevendo a equação:
3y^2 x + 2y cos x + h'(y) = 3 y^2 + 2 y cos x
Subtraindo 3y^2 x + 2y cos x de ambos os lados:
h'(y) = 3 y^2 - 3y^2 x
Isso ainda depende de x , o que não deveria acontecer. Isso indica que houve um erro na aplicação da condição de exatidão ou na integração.

Passo 11

Vamos voltar e verificar se nossa integração estava correta. Quando integramos M(x, y) em relação a x :
Phi(x, y) = integral (-x + y^3 - y^2 sin x) , dx = -12x^2 + y^3 x + y^2 cos x + h(y)
Agora, derivando Phi em relação a y :
partial Phipartial y = 3 y^2 x + 2 y cos x + h'(y)
E sabemos que isso deve ser igual a N(x, y) = 3 y^2 + 2 y cos x . Então:
3 y^2 x + 2 y cos x + h'(y) = 3 y^2 + 2 y cos x
Simplificando:
3 y^2 x + h'(y) = 3 y^2
Para resolver isso, notamos que o termo 3 y^2 x só pode ser igual a 3 y^2 se x = 1 . Mas isso não faz sentido para uma solução geral. Isso indica que houve um erro na verificação de exatidão. Vamos revisar o Passo 2.

Passo 12

Revisando o Passo 2, percebemos que multiplicar a equação original por -1 não foi necessário e pode ter causado confusão. Vamos refazer sem multiplicar por -1.
A equação original:
(x - y^3 + y^2 sin x) , dx = (3 x y^2 + 2 y cos x ) , dy
Reescrevendo na forma padrão:
M(x, y) , dx + N(x, y) , dy = 0
Então:
M(x, y) = x - y^3 + y^2 sin x
N(x, y) = -(3 x y^2 + 2 y cos x )
Agora, vamos recalcular as derivadas parciais com essas definições.

Passo 13

Calculando partial Mpartial y :
M(x, y) = x - y^3 + y^2 sin x
Derivando em relação a y :
partial Mpartial y = -3 y^2 + 2 y sin x
Calculando partial Npartial x :
N(x, y) = -3 x y^2 - 2 y cos x
Derivando em relação a x :
partial Npartial x = -3 y^2 + 2 y sin x

Passo 14

Agora, comparando as derivadas:
partial Mpartial y = -3 y^2 + 2 y sin x
partial Npartial x = -3 y^2 + 2 y sin x
Como elas são iguais, a equação é exata. Agora, vamos encontrar a função Phi(x, y) .

Passo 15

Encontrando Phi(x, y) integrando M(x, y) em relação a x :
Phi(x, y) = integral (x - y^3 + y^2 sin x) , dx
Integrando termo por termo:
integral x , dx = 12x^2
integral -y^3 , dx = -y^3 x
integral y^2 sin x , dx = -y^2 cos x
Então, juntando tudo:
Phi(x, y) = 12x^2 - y^3 x - y^2 cos x + h(y)

Passo 16

Agora, derivamos Phi(x, y) em relação a y e igualamos a N(x, y) :
partial Phipartial y = -3 y^2 x - 2 y cos x + h'(y)
Igualando a N(x, y) = -3 x y^2 - 2 y cos x :
-3 y^2 x - 2 y cos x + h'(y) = -3 x y^2 - 2 y cos x
Simplificando:
h'(y) = 0
Integrando, temos h(y) = C , onde C é uma constante.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada por:
12x^2 - y^3 x - y^2 cos x = C
onde C é uma constante arbitrária.

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