Exercício 1. Nos itens abaixo, verifique se as formas são exatas, caso seja, resolva.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial dada por:
O que precisamos fazer aqui é verificar se essa equação é exata. Se for, a gente resolve. Para isso, vamos precisar entender o que é uma equação diferencial exata e como verificar essa condição.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão:
Comparando com a equação dada, temos:
Mas para facilitar os cálculos, podemos multiplicar ambos os lados por -1, assim:
Passo 3
Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
e ver se elas são iguais. Ou seja, verificar se:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.
Passo 4
Primeiro, calculando
:
Derivando em relação a
:
Passo 5
Agora, calculando
:
Derivando em relação a
:
Passo 6
Comparando as duas derivadas:
Como
, a equação diferencial é exata.
Passo 7
Como a equação é exata, podemos encontrar uma função
tal que:
Vamos encontrar
integrando
em relação a
.
Passo 8
Integrando
em relação a
:
Vamos integrar termo por termo:
Então, juntando tudo:
Aqui,
é uma função que depende só de
e que aparece porque a constante de integração pode depender de
.
Passo 9
Agora, vamos usar a segunda condição
para encontrar
.
Derivando
em relação a
:
Igualando a
:
Simplificando:
Para que isso seja válido para qualquer
e
, o termo com
deve desaparecer, então
deve ser zero, o que só acontece se
, mas isso não cobre todos os casos. Parece que houve um erro na nossa integração. Vamos revisar.
Passo 10
Na verdade,vamos corrigir o passo anterior. Ao integrar
, a função
deve ser tal que, ao derivar
em relação a
, apenas os termos que dependem de
sejam ajustados. Portanto, o termo com
ficou correto, então o
deve compensar os termos que não dependem de
. Vamos refazer:
Reescrevendo a equação:
Subtraindo
de ambos os lados:
Isso ainda depende de
, o que não deveria acontecer. Isso indica que houve um erro na aplicação da condição de exatidão ou na integração.
Passo 11
Vamos voltar e verificar se nossa integração estava correta. Quando integramos
em relação a
:
Agora, derivando
em relação a
:
E sabemos que isso deve ser igual a
. Então:
Simplificando:
Para resolver isso, notamos que o termo
só pode ser igual a
se
. Mas isso não faz sentido para uma solução geral. Isso indica que houve um erro na verificação de exatidão. Vamos revisar o Passo 2.
Passo 12
Revisando o Passo 2, percebemos que multiplicar a equação original por -1 não foi necessário e pode ter causado confusão. Vamos refazer sem multiplicar por -1.
A equação original:
Reescrevendo na forma padrão:
Então:
Agora, vamos recalcular as derivadas parciais com essas definições.
Passo 13
Calculando
:
Derivando em relação a
:
Calculando
:
Derivando em relação a
:
Passo 14
Agora, comparando as derivadas:
Como elas são iguais, a equação é exata. Agora, vamos encontrar a função
.
Passo 15
Encontrando
integrando
em relação a
:
Integrando termo por termo:
Então, juntando tudo:
Passo 16
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Igualando a
:
Simplificando:
Integrando, temos
, onde
é uma constante.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada por:
onde
é uma constante arbitrária.