(Exercício 1, 2 IV.6, pg180,181) Determine as coordenadas do centro de massa do sólido S com a densidade, \delta(x, y, z), dada:
S é a região interior à esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 z, acima do plano z=3 ; \delta(x, y, z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede as coordenadas do centro de massa do sólido S com densidade \delta(x,y,z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A superfície que limita S é a esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=4z.
  • O sólido é a parte dessa esfera situada acima do plano
z=3.
  • A densidade é \delta(x,y,z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Dados que podemos extrair (informações úteis, sem começar a resolver):
  • Ao completar quadrado na equação da esfera temos
x^{2}+y^{2}+(z-2)^{2}=4,
logo a esfera tem centro em (0,0,2) e raio 2. O topo da esfera é z=4 e a parte acima do plano z=3 é um “calote” esférico.
  • A interseção da esfera com o plano z=3 é o círculo definido por x^{2}+y^{2}=3 (peguei isso da equação da esfera avaliada em z=3).
  • O enunciado pede as coordenadas (\bar x,\bar y,\bar z) do centro de massa.

Passo 2

Escolhemos coordenadas esféricas porque a região é uma porção de esfera e a densidade depende de \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} (distância ao origem), o que fica muito simples em esféricas. Vou apresentar as fórmulas básicas de esféricas para ficar tudo claro:
  • Em coordenadas esféricas usamos \rho,\varphi,\theta com as convenções: x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi,onde \rho\ge0 é a distância ao origem, \varphi\in[0,\pi] é o ângulo medido desde o eixo z positivo (co-latitude) e \theta\in[0,2\pi) é o ângulo azimutal.
  • O elemento de volume vale dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.Explicando: \rho^{2}\sin\varphi é o determinante jacobiano da transformação cartesiana \mapsto esféricas; sempre que mudamos de coordenadas temos que multiplicar por esse fator.
  • A densidade \delta(x,y,z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} fica simplesmente \delta(\rho,\varphi,\theta)=\rho.
Agora vamos escrever as superfícies limites em esféricas:
  • A esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4z em esféricas dá \rho^{2}=4\rho\cos\varphi \quad\Rightarrow\quad \rho=4\cos\varphi\quad(\rho\neq0).Então a superfície esférica é dada por \rho=4\cos\varphi.
  • O plano z=3 em esféricas é \rho\cos\varphi=3 \quad\Rightarrow\quad \rho=\frac{3}{\cos\varphi}.
Para cada direção \varphi (com \cos\varphi>0) o sólido entre o plano e a esfera corresponde a \rho variando de \rho_{\text{pl}}=\dfrac{3}{\cos\varphi} até \rho_{\text{esf}}=4\cos\varphi. Precisamos achar o intervalo de \varphi onde essa faixa existe (ou seja, onde \dfrac{3}{\cos\varphi}\le 4\cos\varphi). Fazendo essa desigualdade obtemos
3\le 4\cos^{2}\varphi \quad\Rightarrow\quad \cos^{2}\varphi\ge\frac{3}{4}\quad\Rightarrow\quad \cos\varphi\ge\frac{\sqrt{3}}{2}.
Como \cos\varphi>0 (região ao redor do polo norte), isso significa
0\le\varphi\le\varphi_{0}\quad\text{com}\quad \varphi_{0}=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\pi}{6}.
O ângulo \theta percorre todo o círculo: 0\le\theta\le 2\pi.
Resumo dos limites de integração (em esféricas):
0\le\theta\le2\pi,\qquad 0\le\varphi\le\frac{\pi}{6},\qquad \frac{3}{\cos\varphi}\le\rho\le 4\cos\varphi.
Antes de integrar, observação física-simétrica: a região é rotacionamente simétrica em torno do eixo z, e a densidade \delta=\rho também é simétrica em \theta. Portanto, por simetria,
\bar x=0,\qquad \bar y=0.
Só falta calcular \bar z.

Passo 3

Definição e fórmula que vamos usar para \bar z:
  • A massa total é M=\iiint_{S}\delta\,dV.
  • O momento em relação ao plano xy (para obter \bar z) é M_z=\iiint_{S} z\,\delta\,dV.
  • Então \bar z=\frac{M_z}{M}.
Em esféricas dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta e \delta=\rho. Assim para a massa temos o integrando
\delta\,dV = \rho\cdot\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta = \rho^{3}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Portanto
M=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/6}\int_{3/\cos\varphi}^{4\cos\varphi}\rho^{3}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Calculemos a integral em \rho primeiro:
\int_{3/\cos\varphi}^{4\cos\varphi}\rho^{3}\,d\rho=\left.\frac{\rho^{4}}{4}\right|_{3/\cos\varphi}^{4\cos\varphi} =\frac{1}{4}\big((4\cos\varphi)^{4}-\big(\tfrac{3}{\cos\varphi}\big)^{4}\big).
Simplificando as potências:
(4\cos\varphi)^{4}=256\cos^{4}\varphi,\qquad \big(\tfrac{3}{\cos\varphi}\big)^{4}=\frac{81}{\cos^{4}\varphi}.
Então o integrando em \varphi fica
\frac{1}{4}\big(256\cos^{4}\varphi-\tfrac{81}{\cos^{4}\varphi}\big)\sin\varphi = \big(64\cos^{4}\varphi-\tfrac{81}{4}\cos^{-4}\varphi\big)\sin\varphi.
Agora integramos em \varphi e \theta:
M=2\pi\int_{0}^{\pi/6}\Big(64\cos^{4}\varphi-\tfrac{81}{4}\cos^{-4}\varphi\Big)\sin\varphi\,d\varphi.
Fazemos a substituição útil u=\cos\varphi, então du=-\sin\varphi\,d\varphi. Quando \varphi=0 temos u=1; quando \varphi=\pi/6 temos u=\sqrt{3}/2. Com essa troca:
M=2\pi\int_{u=\sqrt{3}/2}^{1}\big(64u^{4}-\tfrac{81}{4}u^{-4}\big)\,du.
Agora integramos termo a termo:
\int\!64u^{4}\,du=\frac{64}{5}u^{5},\qquad \int\!-\tfrac{81}{4}u^{-4}\,du=-\tfrac{81}{4}\cdot\frac{u^{-3}}{-3}=+\frac{27}{4}u^{-3}.
Portanto a primitiva é
\frac{64}{5}u^{5}+\frac{27}{4}u^{-3}.
Avaliando entre u=\sqrt{3}/2 e u=1 obtemos (mantendo exatidão simbólica)
M=2\pi\Big[\Big(\frac{64}{5}\cdot1^{5}+\frac{27}{4}\cdot1^{-3}\Big) -\Big(\frac{64}{5}\Big(\frac{\sqrt{3}}{2}\Big)^{5}+\frac{27}{4}\Big(\frac{\sqrt{3}}{2}\Big)^{-3}\Big)\Big].
Agora calculamos explicitamente os termos envolvendo \big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\big)^{5} e \big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\big)^{-3}:
  • \displaystyle\Big(\frac{\sqrt{3}}{2}\Big)^{5}=\frac{9\sqrt{3}}{32},
  • \displaystyle\Big(\frac{\sqrt{3}}{2}\Big)^{-3}=\frac{8}{3\sqrt{3}}.
Substituindo e simplificando (fiz as contas passo a passo) chegamos à expressão fechada
M=\pi\,\frac{391-192\sqrt{3}}{10}.
Essa é a massa total do sólido (forma exata). Numericamente isso vale aproximadamente M\approx 18{,}36.

Passo 4

Agora calculamos o momento M_{z}=\iiint_{S} z\,\delta\,dV. Em esféricas z=\rho\cos\varphi e \delta dV=\rho^{3}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta, logo o integrando é \rho^{4}\cos\varphi\sin\varphi. Assim
M_{z}= \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/6}\int_{3/\cos\varphi}^{4\cos\varphi}\rho^{4}\cos\varphi\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Integramos primeiro em \rho:
\int_{3/\cos\varphi}^{4\cos\varphi}\rho^{4}\,d\rho=\left.\frac{\rho^{5}}{5}\right|_{3/\cos\varphi}^{4\cos\varphi} =\frac{1}{5}\big((4\cos\varphi)^{5}-\big(\tfrac{3}{\cos\varphi}\big)^{5}\big).
Portanto
M_{z}=2\pi\int_{0}^{\pi/6}\frac{1}{5}\Big((4\cos\varphi)^{5}-\big(\tfrac{3}{\cos\varphi}\big)^{5}\Big)\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi.
Simplificando potências:
(4\cos\varphi)^{5}=1024\cos^{5}\varphi,\qquad \big(\tfrac{3}{\cos\varphi}\big)^{5}=\frac{243}{\cos^{5}\varphi},
então o integrando em \varphi é
\Big(\frac{1024}{5}\cos^{6}\varphi-\frac{243}{5}\cos^{-4}\varphi\Big)\sin\varphi.
Usamos novamente u=\cos\varphi, du=-\sin\varphi\,d\varphi, e os limites u=\sqrt{3}/2 até u=1. Assim
M_{z}=2\pi\int_{\sqrt{3}/2}^{1}\Big(\frac{1024}{5}u^{6}-\frac{243}{5}u^{-4}\Big)\,du.
Integramos termo a termo:
\int\frac{1024}{5}u^{6}\,du=\frac{1024}{35}u^{7},\qquad \int -\frac{243}{5}u^{-4}\,du=+\frac{81}{5}u^{-3}.
Portanto a primitiva é \dfrac{1024}{35}u^{7}+\dfrac{81}{5}u^{-3}. Avaliando de u=\sqrt{3}/2 até u=1 e multiplicando por 2\pi (novamente eu mostro as contas passo a passo na resolução), obtemos a forma exata
M_{z}=\frac{2\pi}{35}\big(1591-720\sqrt{3}\big).
Numericamente isso dá M_{z}\approx 61{,}74.

Passo 5

Cálculo final de \bar z:
\bar z=\frac{M_{z}}{M} =\frac{\dfrac{2\pi}{35}\big(1591-720\sqrt{3}\big)}{\pi\,\dfrac{391-192\sqrt{3}}{10}} =\frac{2(1591-720\sqrt{3})}{35}\cdot\frac{10}{391-192\sqrt{3}}.
Simplificando fatores comuns:
\bar z=\frac{4(1591-720\sqrt{3})}{7(391-192\sqrt{3})}.
Essa é a forma exata para \bar z. A avaliação numérica é
\bar z\approx 3{,}362.
Lembrete: por simetria \bar x=\bar y=0, conforme comentado anteriormente.

Resposta

\bar x=0,\\ \bar y=0,\\ \bar z=\dfrac{4(1591-720\sqrt{3})}{7(391-192\sqrt{3})}\approx 3{,}362

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