(Exercício 1, 2 IV.6, pg180,181) Determine as coordenadas do centro de massa do sólido S com a densidade, \delta(x, y, z), dada: S é a região interior à esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 z, acima do plano z=3 ; \delta(x, y, z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Passo 1
O enunciado pede as coordenadas do centro de massa do sólido S com densidade \delta(x,y,z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
A superfície que limita S é a esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=4z.
O sólido é a parte dessa esfera situada acima do plano
z=3.
A densidade é \delta(x,y,z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Dados que podemos extrair (informações úteis, sem começar a resolver):
Ao completar quadrado na equação da esfera temos
x^{2}+y^{2}+(z-2)^{2}=4,
logo a esfera tem centro em (0,0,2) e raio 2. O topo da esfera é z=4 e a parte acima do plano z=3 é um “calote” esférico.
A interseção da esfera com o plano z=3 é o círculo definido por x^{2}+y^{2}=3 (peguei isso da equação da esfera avaliada em z=3).
O enunciado pede as coordenadas (\bar x,\bar y,\bar z) do centro de massa.
Passo 2
Escolhemos coordenadas esféricas porque a região é uma porção de esfera e a densidade depende de \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} (distância ao origem), o que fica muito simples em esféricas. Vou apresentar as fórmulas básicas de esféricas para ficar tudo claro:
Em coordenadas esféricas usamos \rho,\varphi,\theta com as convenções:x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi,onde \rho\ge0 é a distância ao origem, \varphi\in[0,\pi] é o ângulo medido desde o eixo z positivo (co-latitude) e \theta\in[0,2\pi) é o ângulo azimutal.
O elemento de volume valedV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.Explicando: \rho^{2}\sin\varphi é o determinante jacobiano da transformação cartesiana \mapsto esféricas; sempre que mudamos de coordenadas temos que multiplicar por esse fator.
A densidade \delta(x,y,z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} fica simplesmente \delta(\rho,\varphi,\theta)=\rho.
Agora vamos escrever as superfícies limites em esféricas:
A esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4z em esféricas dá\rho^{2}=4\rho\cos\varphi \quad\Rightarrow\quad \rho=4\cos\varphi\quad(\rho\neq0).Então a superfície esférica é dada por \rho=4\cos\varphi.
O plano z=3 em esféricas é\rho\cos\varphi=3 \quad\Rightarrow\quad \rho=\frac{3}{\cos\varphi}.
Para cada direção \varphi (com \cos\varphi>0) o sólido entre o plano e a esfera corresponde a \rho variando de \rho_{\text{pl}}=\dfrac{3}{\cos\varphi} até \rho_{\text{esf}}=4\cos\varphi. Precisamos achar o intervalo de \varphi onde essa faixa existe (ou seja, onde \dfrac{3}{\cos\varphi}\le 4\cos\varphi). Fazendo essa desigualdade obtemos
Antes de integrar, observação física-simétrica: a região é rotacionamente simétrica em torno do eixo z, e a densidade \delta=\rho também é simétrica em \theta. Portanto, por simetria,
\bar x=0,\qquad \bar y=0.
Só falta calcular \bar z.
Passo 3
Definição e fórmula que vamos usar para \bar z:
A massa total éM=\iiint_{S}\delta\,dV.
O momento em relação ao plano xy (para obter \bar z) éM_z=\iiint_{S} z\,\delta\,dV.
Então\bar z=\frac{M_z}{M}.
Em esféricas dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta e \delta=\rho. Assim para a massa temos o integrando
Fazemos a substituição útil u=\cos\varphi, então du=-\sin\varphi\,d\varphi. Quando \varphi=0 temos u=1; quando \varphi=\pi/6 temos u=\sqrt{3}/2. Com essa troca:
Substituindo e simplificando (fiz as contas passo a passo) chegamos à expressão fechada
M=\pi\,\frac{391-192\sqrt{3}}{10}.
Essa é a massa total do sólido (forma exata). Numericamente isso vale aproximadamente M\approx 18{,}36.
Passo 4
Agora calculamos o momento M_{z}=\iiint_{S} z\,\delta\,dV. Em esféricas z=\rho\cos\varphi e \delta dV=\rho^{3}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta, logo o integrando é \rho^{4}\cos\varphi\sin\varphi. Assim
Portanto a primitiva é \dfrac{1024}{35}u^{7}+\dfrac{81}{5}u^{-3}. Avaliando de u=\sqrt{3}/2 até u=1 e multiplicando por 2\pi (novamente eu mostro as contas passo a passo na resolução), obtemos a forma exata