(Exercício3. IV.6, pg180,181) Determine o momento de inércia do sólido S em relação ao eixo dado, com a densidade, \delta(x, y, z), dada:
S limitado por z=x, y^{2}=4-2 z e x=0, \operatorname{com} \delta(x, y, z) constante, eixo O z.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o momento de inércia do sólido S em relação ao eixo O z, sabendo que a densidade \delta(x,y,z) é constante (vou chamar de \delta).
Informações dadas:
  • S é limitado por \;z=x\;, \;y^{2}=4-2z\; e \;x=0\;.
  • A densidade é constante: \delta(x,y,z)=\delta.
  • O eixo para o momento de inércia é o eixo O z.
    Pergunta explícita: calcular I_{z}, o momento de inércia de S em relação a O z.

Passo 2

Fórmula geral (aula rápida): o momento de inércia de um corpo contínuo em relação a um eixo é
I=\iiint_{S} r^{2}\,\delta\,dV,
onde r é a distância de cada ponto ao eixo. Para o eixo O z, a distância de (x,y,z) ao eixo é r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, logo
r^{2}=x^{2}+y^{2}.
Como \delta é constante, ela pode sair da integral. Portanto
I_{z}=\delta\iiint_{S} \bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dV.
Explico: integrando \bigl(x^{2}+y^{2}\bigr) em todo o volume e multiplicando pela densidade obtemos a soma (integral) de r^{2}dm, que define o momento.

Passo 3

Precisamos descrever bem a região S para montar os limites de integração. As superfícies são:
  • plano vertical em x=0;
  • plano inclinado z=x (ou x=z);
  • a superfície parabólica y^{2}=4-2z, que isoladamente dá z=2-\dfrac{y^{2}}{2}.
Para escolher limites convenientes faço assim: fixo y e z, então x varia entre x=0 e a face x=z (pois a face z=x é x=z). Isso exige z\ge 0 para que o intervalo 0\le x\le z faça sentido. A superfície parabólica fornece o teto em z: z\le 2-\dfrac{y^{2}}{2}. Como exigimos z\ge 0, temos
0\le z\le 2-\dfrac{y^{2}}{2}.
Para que o teto seja não-negativo precisamos 2-\dfrac{y^{2}}{2}\ge 0, isto é y^{2}\le 4, então
-2\le y\le 2.
Resumo dos limites (ordem dx\,dz\,dy):
-2\le y\le 2,\qquad 0\le z\le 2-\dfrac{y^{2}}{2},\qquad 0\le x\le z.

Passo 4

Montando a integral com esses limites:
I_{z}=\delta\int_{y=-2}^{2}\int_{z=0}^{\,2-\frac{y^{2}}{2}}\int_{x=0}^{z} \bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dx\,dz\,dy.
Expliquei por que \delta sai da integral (constante) e por que os limites são esses (razão geométrica).

Passo 5

Calculo a integral interna em x. Integramos termo a termo:
\int_{x=0}^{z} \bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dx = \left[\frac{x^{3}}{3}+y^{2}x\right]_{0}^{z} = \frac{z^{3}}{3}+y^{2}z.
Portanto
I_{z}=\delta\int_{-2}^{2}\int_{0}^{\,2-\frac{y^{2}}{2}}\left(\frac{z^{3}}{3}+y^{2}z\right)\,dz\,dy.

Passo 6

Agora integramos em z. Antiderivadas:
\int\frac{z^{3}}{3}\,dz=\frac{z^{4}}{12},\qquad \int y^{2}z\,dz=\frac{y^{2}z^{2}}{2}.
Avalio de z=0 a z=2-\dfrac{y^{2}}{2}. Assim a integral em z
\frac{\bigl(2-\dfrac{y^{2}}{2}\bigr)^{4}}{12}+\frac{y^{2}}{2}\bigl(2-\dfrac{y^{2}}{2}\bigr)^{2}.
Logo
I_{z}=\delta\int_{-2}^{2}\left[\frac{\bigl(2-\dfrac{y^{2}}{2}\bigr)^{4}}{12}+\frac{y^{2}}{2}\bigl(2-\dfrac{y^{2}}{2}\bigr)^{2}\right]dy.

Passo 7

Observação de simetria (ajuda a simplificar): o integrando é função de potências pares de y (apenas y^{2},y^{4},\dots), logo é uma função par. Assim podemos escrever
I_{z}=2\delta\int_{0}^{2}\left[\frac{\bigl(2-\dfrac{y^{2}}{2}\bigr)^{4}}{12}+\frac{y^{2}}{2}\bigl(2-\dfrac{y^{2}}{2}\bigr)^{2}\right]dy.

Passo 8

Expandimos o integrando para integrar termo a termo. Defina A=2-\dfrac{y^{2}}{2}. Primeiro
A^{2}=4-2y^{2}+\frac{1}{4}y^{4}.
E
A^{4}=\bigl(A^{2}\bigr)^{2}=16-16y^{2}+6y^{4}-y^{6}+\frac{1}{16}y^{8}.
Agora formamos
\frac{A^{4}}{12}+\frac{y^{2}}{2}A^{2}
e somando os termos obtemos (fazendo a álgebra e coletando potências)
\frac{A^{4}}{12}+\frac{y^{2}}{2}A^{2} = \frac{4}{3}+\frac{2}{3}y^{2}-\frac{1}{2}y^{4}+\frac{1}{24}y^{6}+\frac{1}{192}y^{8}.
Chame esse polinômio de f(y). (Se quiser, pode conferir termo a termo expandindo como aqui feito.)

Passo 9

Integramos f(y) de 0 a 2 termo a termo:
\int_{0}^{2}\frac{4}{3}\,dy=\frac{8}{3}, \quad \int_{0}^{2}\frac{2}{3}y^{2}\,dy=\frac{16}{9}, \quad \int_{0}^{2}\!-\frac{1}{2}y^{4}\,dy=-\frac{16}{5},
\int_{0}^{2}\frac{1}{24}y^{6}\,dy=\frac{16}{21}, \quad \int_{0}^{2}\frac{1}{192}y^{8}\,dy=\frac{8}{27}.
Somando esses resultados:
\int_{0}^{2} f(y)\,dy=\frac{8}{3}+\frac{16}{9}-\frac{16}{5}+\frac{16}{21}+\frac{8}{27}=\frac{2176}{945}.
Portanto, lembrando do fator 2 e de \delta,
I_{z}=2\delta\cdot\frac{2176}{945}=\frac{4352}{945}\,\delta.

Resposta

\dfrac{4352}{945}\,\delta

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