(Exercício3. IV.6, pg180,181) Determine o momento de inércia do sólido S em relação ao eixo dado, com a densidade, \delta(x, y, z), dada: S limitado por z=x, y^{2}=4-2 z e x=0, \operatorname{com} \delta(x, y, z) constante, eixo O z.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o momento de inércia do sólido S em relação ao eixo O z, sabendo que a densidade \delta(x,y,z) é constante (vou chamar de \delta).
Informações dadas:
S é limitado por \;z=x\;, \;y^{2}=4-2z\; e \;x=0\;.
A densidade é constante: \delta(x,y,z)=\delta.
O eixo para o momento de inércia é o eixo O z.
Pergunta explícita: calcular I_{z}, o momento de inércia de S em relação a O z.
Passo 2
Fórmula geral (aula rápida): o momento de inércia de um corpo contínuo em relação a um eixo é
I=\iiint_{S} r^{2}\,\delta\,dV,
onde r é a distância de cada ponto ao eixo. Para o eixo O z, a distância de (x,y,z) ao eixo é r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, logo
r^{2}=x^{2}+y^{2}.
Como \delta é constante, ela pode sair da integral. Portanto
Explico: integrando \bigl(x^{2}+y^{2}\bigr) em todo o volume e multiplicando pela densidade obtemos a soma (integral) de r^{2}dm, que define o momento.
Passo 3
Precisamos descrever bem a região S para montar os limites de integração. As superfícies são:
plano vertical em x=0;
plano inclinado z=x (ou x=z);
a superfície parabólica y^{2}=4-2z, que isoladamente dá z=2-\dfrac{y^{2}}{2}.
Para escolher limites convenientes faço assim: fixo y e z, então x varia entre x=0 e a face x=z (pois a face z=x é x=z). Isso exige z\ge 0 para que o intervalo 0\le x\le z faça sentido. A superfície parabólica fornece o teto em z: z\le 2-\dfrac{y^{2}}{2}. Como exigimos z\ge 0, temos
0\le z\le 2-\dfrac{y^{2}}{2}.
Para que o teto seja não-negativo precisamos 2-\dfrac{y^{2}}{2}\ge 0, isto é y^{2}\le 4, então
-2\le y\le 2.
Resumo dos limites (ordem dx\,dz\,dy):
-2\le y\le 2,\qquad 0\le z\le 2-\dfrac{y^{2}}{2},\qquad 0\le x\le z.
Observação de simetria (ajuda a simplificar): o integrando é função de potências pares de y (apenas y^{2},y^{4},\dots), logo é uma função par. Assim podemos escrever