(Exercício3. IV.6, pg180,181) Determine o momento de inércia do sólido S em relação ao eixo dado, com a densidade, \delta(x, y, z), dada:
S é limitado por x=0, y=0, z=0, x+z=3 e y=z, \operatorname{com} \delta(x, y, z)=k x, eixo O x \cdot\left[\frac{1}{3} \int_{0}^{3} k x(3-x)^{4} d x\right]

Passo 1

O enunciado dá um sólido S e pede o momento de inércia de S em relação ao eixo Ox. As informações fornecidas são:
  • Superfícies que limitam S: x=0, y=0, z=0, x+z=3 e y=z.
  • Densidade do sólido: \delta(x,y,z)=k\,x (constante k).
  • Queremos I_{Ox}, o momento de inércia em torno do eixo Ox.

Passo 2

Definição e ideia: o momento de inércia de um corpo em relação ao eixo Ox é a integral da densidade vezes o quadrado da distância de cada ponto ao eixo Ox. A distância de um ponto (x,y,z) ao eixo Ox é a distância ao eixo paralelo ao eixo x, portanto o quadrado dessa distância é y^{2}+z^{2}. Assim a fórmula é
I_{Ox}=\iiint_{S} \delta(x,y,z)\,(y^{2}+z^{2})\,dV.
Aqui \delta(x,y,z) é a densidade no ponto (x,y,z) e dV é o elemento de volume.

Passo 3

Descrever o domínio S com limites para integrar:
  • Da equação x+z=3 e z\ge0 segue 0\le x\le 3.
  • Para cada x fixo, z varia entre 0 e 3-x (pois z=3-x é a face inclinada).
  • Para cada par (x,z) fixo, y está entre y=0 e y=z (porque as superfícies y=0 e y=z limitam na direção y).
    Portanto podemos usar a ordem de integração dy\,dz\,dx com limites
0\le x\le 3,\quad 0\le z\le 3-x,\quad 0\le y\le z.

Passo 4

Montar a integral tripla usando \delta(x,y,z)=kx e a fórmula do passo 2:
I_{Ox}=\int_{x=0}^{3}\int_{z=0}^{3-x}\int_{y=0}^{z} kx\,(y^{2}+z^{2})\,dy\,dz\,dx.
Explico: ao integrar primeiro em y estamos somando ao longo da reta paralela ao eixo y para cada z e x; depois somamos em z e finalmente em x.

Passo 5

Calcular a integral interna em y:
\int_{y=0}^{z} (y^{2}+z^{2})\,dy = \int_{0}^{z} y^{2}\,dy + z^{2}\int_{0}^{z} 1\,dy.
Agora cada termo:
\int_{0}^{z} y^{2}\,dy=\left[\frac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{z}=\frac{z^{3}}{3}, \qquad z^{2}\int_{0}^{z}1\,dy=z^{2}\cdot z=z^{3}.
Somando:
\int_{0}^{z} (y^{2}+z^{2})\,dy=\frac{z^{3}}{3}+z^{3}=\frac{4}{3}z^{3}.

Passo 6

Substituindo o resultado do passo anterior na integral tripla:
I_{Ox}=\int_{0}^{3}\int_{0}^{3-x} kx\cdot\frac{4}{3}z^{3}\,dz\,dx = \frac{4k}{3}\int_{0}^{3} x\left(\int_{0}^{3-x} z^{3}\,dz\right)dx.
Calcule a integral em z:
\int_{0}^{3-x} z^{3}\,dz=\left[\frac{z^{4}}{4}\right]_{0}^{3-x}=\frac{(3-x)^{4}}{4}.
Substituindo:
I_{Ox}=\frac{4k}{3}\int_{0}^{3} x\cdot\frac{(3-x)^{4}}{4}\,dx =\frac{k}{3}\int_{0}^{3} x(3-x)^{4}\,dx.

Passo 7

Calcular a integral em x:
usar substituição u=3-x (ou expandir); com u=3-x temos du=-dx, quando x=0\Rightarrow u=3, quando x=3\Rightarrow u=0. Então
\int_{0}^{3} x(3-x)^{4}\,dx =\int_{u=3}^{0} (3-u)u^{4}(-du) =\int_{0}^{3} (3u^{4}-u^{5})\,du.
Agora integrar termo a termo:
\int_{0}^{3} 3u^{4}\,du=3\left[\frac{u^{5}}{5}\right]_{0}^{3}=3\cdot\frac{3^{5}}{5}=\frac{729}{5},
\int_{0}^{3} u^{5}\,du=\left[\frac{u^{6}}{6}\right]_{0}^{3}=\frac{3^{6}}{6}=\frac{729}{6}.
Subtraindo:
\int_{0}^{3} x(3-x)^{4}\,dx=\frac{729}{5}-\frac{729}{6} =729\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{6}\right)=729\cdot\frac{1}{30}=\frac{243}{10}.

Passo 8

Voltar à expressão para I_{Ox}:
I_{Ox}=\frac{k}{3}\cdot\frac{243}{10}=\frac{243k}{30}.
Não simplifico aqui (simplificação final na seção de resposta).

Resposta

\displaystyle \frac{81}{10}\,k

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