(Exercício3. IV.6, pg180,181) Determine o momento de inércia do sólido
em relação ao eixo dado, com a densidade,
, dada:
é limitado por
e
, eixo
Passo 1
O enunciado dá um sólido
e pede o momento de inércia de
em relação ao eixo
. As informações fornecidas são:
- Superfícies que limitam
: , , , e . - Densidade do sólido:
(constante ). - Queremos
, o momento de inércia em torno do eixo .
Passo 2
Definição e ideia: o momento de inércia de um corpo em relação ao eixo
é a integral da densidade vezes o quadrado da distância de cada ponto ao eixo
. A distância de um ponto
ao eixo
é a distância ao eixo paralelo ao eixo
, portanto o quadrado dessa distância é
. Assim a fórmula é
Aqui
é a densidade no ponto
e
é o elemento de volume.
Passo 3
Descrever o domínio
com limites para integrar:
- Da equação
e segue . - Para cada
fixo, varia entre e (pois é a face inclinada). - Para cada par
fixo, está entre e (porque as superfícies e limitam na direção ).
Portanto podemos usar a ordem de integraçãocom limites
Passo 4
Montar a integral tripla usando
e a fórmula do passo 2:
Explico: ao integrar primeiro em
estamos somando ao longo da reta paralela ao eixo
para cada
e
; depois somamos em
e finalmente em
.
Passo 5
Calcular a integral interna em
:
Agora cada termo:
Somando:
Passo 6
Substituindo o resultado do passo anterior na integral tripla:
Calcule a integral em
:
Substituindo:
Passo 7
Calcular a integral em
:
usar substituição (ou expandir); com
temos
, quando
, quando
. Então
usar substituição
Agora integrar termo a termo:
Subtraindo:
Passo 8
Voltar à expressão para
:
Não simplifico aqui (simplificação final na seção de resposta).