Exercício 2. Lança-se um dado equilibrado duas vezes, independentemente. Sejam X e Y variáveis aleatórias que representam os números obtidos no primeiro e segundo lançamentos, respectivamente.
(a) Determine a \mathrm{P}(\mathrm{X}=\mathrm{Y}).
(b) Obtenha a função de probabilidade de \mathrm{W}=|\mathrm{X}-\mathrm{Y}|.
(c) Seja
Z=\left\{\begin{array}{l} 1, \text { se } X+Y \text { é par, } \\\\ 0, \text { se } X+Y \text { é ímpar. } \end{array}\right.
Explique por que X e Z são, ou não são, independentes.
Passo 1
O enunciado descreve dois lançamentos independentes de um dado equilibrado, com variáveis aleatórias X e Y iguais aos resultados do primeiro e do segundo lançamento. Precisamos:
(a) calcular \mathrm{P}(X=Y) usando contagem de casos favoráveis em \Omega equiprovável;
(b) obter a função de probabilidade de W=|X-Y| computando \mathrm{P}(W=w) para cada w\in\{0,1,2,3,4,5\};
(c) definir Z como indicação de X+Y par e verificar a independência entre X e Z pela condição \mathrm{P}(X=x,Z=z)=\mathrm{P}(X=x)\,\mathrm{P}(Z=z).
Passo 2
Para (a), note que \Omega tem 6\times6=36 resultados equiprováveis e que o evento \{X=Y\} ocorre exatamente quando os dois lançamentos coincidem em algum i\in\{1,\dots,6\}. Logo,