Exercício 2. Lança-se um dado equilibrado duas vezes, independentemente. Sejam X e Y variáveis aleatórias que representam os números obtidos no primeiro e segundo lançamentos, respectivamente.
(a) Determine a \mathrm{P}(\mathrm{X}=\mathrm{Y}).
(b) Obtenha a função de probabilidade de \mathrm{W}=|\mathrm{X}-\mathrm{Y}|.
(c) Seja
Z=\left\{\begin{array}{l} 1, \text { se } X+Y \text { é par, } \\\\ 0, \text { se } X+Y \text { é ímpar. } \end{array}\right.ééí
Explique por que X e Z são, ou não são, independentes.

Passo 1

O enunciado descreve dois lançamentos independentes de um dado equilibrado, com variáveis aleatórias X e Y iguais aos resultados do primeiro e do segundo lançamento. Precisamos:
  • (a) calcular \mathrm{P}(X=Y) usando contagem de casos favoráveis em \Omega equiprovável;
  • (b) obter a função de probabilidade de W=|X-Y| computando \mathrm{P}(W=w) para cada w\in\{0,1,2,3,4,5\};
  • (c) definir Z como indicação de X+Y par e verificar a independência entre X e Z pela condição \mathrm{P}(X=x,Z=z)=\mathrm{P}(X=x)\,\mathrm{P}(Z=z).

Passo 2

Para (a), note que \Omega tem 6\times6=36 resultados equiprováveis e que o evento \{X=Y\} ocorre exatamente quando os dois lançamentos coincidem em algum i\in\{1,\dots,6\}. Logo,
\mathrm{P}(X=Y) =\sum_{i=1}^{6}\mathrm{P}(X=i,Y=i) =6\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6} =\frac{6}{36} =\frac{1}{6}.

Passo 3

Para (b), W=|X-Y| toma os valores w=0,1,2,3,4,5. O número de pares (x,y) com |x-y|=w é
N(w)= \begin{cases} 6, & w=0,\\\\ 2(6-w), & w=1,2,3,4,5. \end{cases}
Como há 36 resultados no total,
\mathrm{P}(W=w) =\frac{N(w)}{36} =\begin{cases} \frac{6}{36}=\tfrac{1}{6}, & w=0,\\[6pt] \frac{2(6-w)}{36}=\frac{6-w}{18}, & w=1,2,3,4,5. \end{cases}]

Passo 4

Para (c), Z=1 se X+Y é par e Z=0 caso contrário. Primeiro,
\mathrm{P}(Z=1) =\mathrm{P}(\text{ambos pares})+\mathrm{P}(\text{ambos ímpares}) =\frac{3}{6}\cdot\frac{3}{6}+\frac{3}{6}\cdot\frac{3}{6} =\frac{1}{4}+\frac{1}{4} =\frac{1}{2}.í
Como X e Y são independentes e equiprováveis, para cada x fixo temos
\mathrm{P}(Z=1\mid X=x) =\mathrm{P}\bigl(Y\equiv x\pmod2\bigr) =\frac{1}{2}.
Logo
\mathrm{P}(X=x,Z=1) =\mathrm{P}(X=x)\,\mathrm{P}(Z=1\mid X=x) =\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{2} =\mathrm{P}(X=x)\,\mathrm{P}(Z=1).
O mesmo vale para Z=0. Portanto X e Z são independentes.

Resposta

(a) \displaystyle \mathrm{P}(X=Y)=\tfrac{1}{6}.\) (b) \(\displaystyle \mathrm{P}(W=w)=\begin{cases}\tfrac{1}{6},&w=0,\\[3pt]\tfrac{6-w}{18},&w=1,2,3,4,5.\end{cases}
(c) X e Z são independentes, pois \mathrm{P}(X=x,Z=z)=\mathrm{P}(X=x)\,\mathrm{P}(Z=z) para todo x,z.]

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