Exercício 1. Resolva os itens abaixo por 2 métodos: f.g.m. e a partir da distribuição conjunta.
Se X \sim \operatorname{Geo}(p) e Y \sim \operatorname{Geo}(p) são variáveis aleatórias independentes. Mostre que X+Y \sim B N(2, p).

Passo 1

O enunciado diz que X e Y são independentes e seguem \operatorname{Geo}(p), ou seja
P(X=k)=p\,(1-p)^{\,k-1},\quad k=1,2,\dots
e queremos mostrar que X+Y tem distribuição Binomial Negativa de parâmetros 2 e p (denotada por \mathrm{BN}(2,p)).
Vamos usar dois métodos:
  1. função geradora de momentos (fgm),
  2. distribuição conjunta (convolução de pmfs).

Passo 2

Método 1 — fgm. Definindo \,q=1-p, a fgm de X é
M_X(t)=E\bigl(e^{tX}\bigr) =\sum_{k=1}^{\infty}p\,q^{\,k-1}e^{tk} =\frac{p\,e^t}{1-q\,e^t}.
Como X e Y são independentes,
M_{X+Y}(t) =M_X(t)\,M_Y(t) =\biggl(\frac{p\,e^t}{1-q\,e^t}\biggr)^{2}.
Mas essa é exatamente a fgm de \mathrm{BN}(2,p), pois uma Binomial Negativa com 2 sucessos tem
M(t) =\biggl(\frac{p\,e^t}{1-q\,e^t}\biggr)^{2}.
Logo, X+Y\sim \mathrm{BN}(2,p) por unicidade de fgm.

Passo 3

Método 2 — distribuição conjunta. Para k\ge2,
P(X+Y=k) =\sum_{i=1}^{k-1}P\bigl(X=i,\;Y=k-i\bigr) =\sum_{i=1}^{k-1}p\,q^{\,i-1}\;p\,q^{\,k-i-1} =p^{2}q^{\,k-2}\sum_{i=1}^{k-1}1.
Como há k-1 termos na soma,
P(X+Y=k) =(k-1)\,p^{2}q^{\,k-2}.
Isso coincide com a pmf de \mathrm{BN}(2,p), que é
P(Z=k)=\binom{k-1}{2-1}p^{2}q^{\,k-2}=(k-1)p^{2}q^{\,k-2}.
Portanto, X+Y\sim \mathrm{BN}(2,p).

Resposta

X+Y\sim \mathrm{BN}(2,p).

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