Exercício 1. Resolva os itens abaixo por 2 métodos: f.g.m. e a partir da distribuição conjunta.
Se
e
são variáveis aleatórias independentes. Mostre que
.
Se
Passo 1
O enunciado diz que
e
são independentes e seguem
, ou seja
e queremos mostrar que
tem distribuição Binomial Negativa de parâmetros
e
(denotada por
).
Vamos usar dois métodos:
Vamos usar dois métodos:
- função geradora de momentos (fgm),
- distribuição conjunta (convolução de pmfs).
Passo 2
Método 1 — fgm. Definindo
, a fgm de
é
Como
e
são independentes,
Mas essa é exatamente a fgm de
, pois uma Binomial Negativa com
sucessos tem
Logo,
por unicidade de fgm.
Passo 3
Método 2 — distribuição conjunta. Para
,
Como há
termos na soma,
Isso coincide com a pmf de
, que é
Portanto,
.