Exercício 1. Resolva os itens abaixo por 2 métodos: f.g.m. e a partir da distribuição conjunta.
Mostre que se X_{1}, \ldots, X_{k} são v.a.'s independentes tais que X_{i} \sim \operatorname{Geo}(p), i= 1, \ldots, k, então X_{1}+\ldots+X_{k} \sim B N(k, p).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se X_{1},\dots,X_{k} são independentes com X_{i}\sim \operatorname{Geo}(p), então
S = X_{1} + \cdots + X_{k}
segue uma distribuição binomial negativa de parâmetros k e p (denotada \operatorname{BN}(k,p)). Usaremos dois métodos:
  1. Pela função geradora de momentos (f.g.m.).
  2. Direto da distribuição conjunta, via convolução.

Passo 2

Método 1 – f.g.m.
Para cada i, a f.g.m. de X_{i} é
M_{X_{i}}(t) = E\bigl(e^{tX_{i}}\bigr) = \sum_{x=1}^{\infty}e^{tx}\,p\,(1-p)^{\,x-1} = \frac{pe^{t}}{1 - (1-p)e^{t}}.
Como os X_{i} são independentes, a f.g.m. de S é o produto
M_{S}(t) = \prod_{i=1}^{k}M_{X_{i}}(t) = \Bigl(\frac{pe^{t}}{1 - (1-p)e^{t}}\Bigr)^{k}.
Mas esta é exatamente a f.g.m. de \operatorname{BN}(k,p), logo S\sim \operatorname{BN}(k,p).

Passo 3

Método 2 – distribuição conjunta e convolução
A pmf conjunta de \{X_{i}\} é
P(X_{1}=x_{1},\dots,X_{k}=x_{k}) = \prod_{i=1}^{k}p\,(1-p)^{\,x_{i}-1}.
Para S=n (com n\ge k), tens
P(S=n) = \sum_{x_{1}+\cdots+x_{k}=n} \prod_{i=1}^{k}p\,(1-p)^{\,x_{i}-1}.

Passo 4

Cálculo do somatório via combinatória
Note que em cada termo do somatório há k fatores p e \sum_{i}(x_{i}-1)=n-k, portanto cada termo vale
p^{k}(1-p)^{\,n-k}.
O número de soluções inteiras positivas de x_{1}+\cdots+x_{k}=n é \binom{n-1}{k-1}. Assim
P(S=n) = \binom{n-1}{k-1}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k}, \quad n=k,k+1,\dots
que é exatamente a pmf de \operatorname{BN}(k,p).

Passo 5

Concluímos pelos dois métodos que
X_{1} + \cdots + X_{k} \sim \operatorname{BN}(k,p).

Resposta

\displaystyle X_{1}+\cdots+X_{k}\sim \operatorname{BN}(k,p), com
P(S=n) = \binom{n-1}{k-1}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k},\quad n=k,k+1,\dots

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