Exercício 1. Resolva os itens abaixo por 2 métodos: f.g.m. e a partir da distribuição conjunta.
Mostre que se
são v.a.'s independentes tais que
, então
.
Mostre que se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
são independentes com
, então
segue uma distribuição binomial negativa de parâmetros
e
(denotada
). Usaremos dois métodos:
- Pela função geradora de momentos (f.g.m.).
- Direto da distribuição conjunta, via convolução.
Passo 2
Método 1 – f.g.m.
Para cada , a f.g.m. de
é
Para cada
Como os
são independentes, a f.g.m. de
é o produto
Mas esta é exatamente a f.g.m. de
, logo
.
Passo 3
Método 2 – distribuição conjunta e convolução
A pmf conjunta de é
A pmf conjunta de
Para
(com
), tens
Passo 4
Cálculo do somatório via combinatória
Note que em cada termo do somatório há fatores
e
, portanto cada termo vale
Note que em cada termo do somatório há
O número de soluções inteiras positivas de
é
. Assim
que é exatamente a pmf de
.
Passo 5
Concluímos pelos dois métodos que