Exercício 2:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{3 x^{3}-x}{x^{2}+1}

Passo 1

O exercício pede
\lim_{x \to -\infty} \frac{3x^{3}-x}{x^{2}+1},
ou seja, é um limite no infinito de uma função racional. Para resolver, vamos comparar os termos de maior grau no numerador e no denominador, dividindo ambos pelo maior grau que aparece.

Passo 2

Dividimos numerador e denominador por x^{2}, que é o maior expoente no denominador. Assim,
\frac{3x^{3}-x}{x^{2}+1} = \frac{x^{2}\bigl(3x - \tfrac{1}{x}\bigr)}{x^{2}\bigl(1 + \tfrac{1}{x^{2}}\bigr)} = \frac{3x - \tfrac{1}{x}}{1 + \tfrac{1}{x^{2}}}.

Passo 3

Agora observamos o comportamento de cada parcela quando x \to -\infty:
\tfrac{1}{x} \to 0, \quad \tfrac{1}{x^{2}} \to 0.
Portanto a expressão tende a
\frac{3x - 0}{1 + 0} = 3x.

Passo 4

Como x \to -\infty, temos 3x \to -\infty. Logo a fração original também tende a -\infty.

Resposta

-\infty

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