Exercício 2:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x^{2}-1}{x^{3}+2}

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{x\to -\infty} \frac{x^{2}-1}{x^{3}+2}.
Este é um limite de função racional (quociente de polinômios) quando x tende a -\infty. Para resolver, vamos usar o princípio de comparar os graus do polinômio do numerador e do denominador e, em seguida, dividir numerador e denominador pela maior potência de x.

Passo 2

Observamos que o numerador x^{2}-1 é de grau 2 e o denominador x^{3}+2 é de grau 3. Como o grau do denominador é maior que o do numerador, intuitivamente o quociente tende a zero. Para justificar, vamos dividir ambos por x^{3}, a maior potência presente no denominador.

Passo 3

Dividindo numerador e denominador por x^{3}, obtemos
\frac{x^{2}-1}{x^{3}+2} = \frac{\frac{x^{2}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{2}{x^{3}}} = \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{1 + \frac{2}{x^{3}}}.

Passo 4

Agora analisamos cada termo quando x \to -\infty: \tfrac{1}{x}\to 0, \tfrac{1}{x^{3}}\to 0. Logo
\frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{1 + \frac{2}{x^{3}}} \;\longrightarrow\; \frac{0 - 0}{1 + 0} = 0.

Resposta

0

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