Exercício 2:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{3}+x+1}{2 x^{3}-x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \lim_{x\to+\infty}\frac{x^{3}+x+1}{2x^{3}-x}.
Esse tipo de limite de quociente de polinômios pode ser resolvido observando o comportamento assintótico: basta dividir numerador e denominador pelo maior grau de x.

Passo 2

No numerador e no denominador o termo de maior grau é x^3.
Então dividimos cada termo por x^3:
\frac{x^{3}+x+1}{2x^{3}-x} = \frac{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{2x^{3}}{x^{3}} - \frac{x}{x^{3}}}.

Passo 3

Simplificando cada fração interna, fica
\frac{x^{3}+x+1}{2x^{3}-x} = \frac{1 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}{2 - \frac{1}{x^{2}}}.

Passo 4

Quando x\to+\infty, temos \frac{1}{x^{2}}\to0 e \frac{1}{x^{3}}\to0.
Logo o limite vale
\frac{1 + 0 + 0}{2 - 0} = \frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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