Exercício 2:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{5 x^{2}-x+1}{2 x^{2}+x-1}

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular \lim_{x\to -\infty}\frac{5x^{2}-x+1}{2x^{2}+x-1}. Esse é um limite de uma função racional no infinito. Para resolver, vamos comparar os termos de maior grau no numerador e no denominador.

Passo 2

Quando o numerador e o denominador têm o mesmo grau, o limite no infinito é simplesmente a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Aqui ambos têm grau 2, com coeficientes 5 (no numerador) e 2 (no denominador). Portanto, já esperávamos
\lim_{x\to -\infty}\frac{5x^{2}-x+1}{2x^{2}+x-1} = \frac{5}{2}.
Para tornar isso mais rigoroso, dividimos numerador e denominador por x^{2}.

Passo 3

Dividindo por x^{2}, temos:
\frac{5x^{2}-x+1}{2x^{2}+x-1} = \frac{5 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{2 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}}.

Passo 4

À medida que x\to -\infty, os termos \tfrac{1}{x} e \tfrac{1}{x^{2}} tendem a zero. Logo, o quociente acima tende a
\frac{5 - 0 + 0}{2 + 0 - 0} = \frac{5}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{2}

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