Exercício 1 - Limite com caminho oculto (indeterminação não trivial)
Considere a função:
(a) Verifique se o limite de
existe quando
.
(b) Caso o limite não exista, exiba dois caminhos que levem a resultados diferentes.
Dica: Experimente os caminhos
, etc.
(b) Caso o limite não exista, exiba dois caminhos que levem a resultados diferentes.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
existe, onde
Estamos em limites de funções de duas variáveis e vamos usar o método de caminhos: testar substituições do tipo
para ver se o valor do limite depende do caminho escolhido.
Passo 2
Testamos o caminho
, com
. Substituindo na função:
Esse valor independe de
, logo ao fazermos
obtemos
Passo 3
Escolhendo dois valores de
distintos obtemos resultados diferentes:
Para (
)
Para
enquanto para
(
)
Como
, o limite depende do caminho de aproximação.
Resposta
O limite
não existe. Dois caminhos que levam a resultados diferentes são
y , que dá limite
,
e y , que dá limite
.
y
e y