Exercício 1 - Limite com caminho oculto (indeterminação não trivial)

Considere a função:
f(x, y)=x^2 yx^4+y^2
(a) Verifique se o limite de f(x, y) existe quando (x, y) (0,0).
(b) Caso o limite não exista, exiba dois caminhos que levem a resultados diferentes.
Dica: Experimente os caminhos y=k x^2, y=x, etc.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se lim(x,y)to(0,0)f(x,y) existe, onde
f(x,y)=x^2yx^4+y^2
Estamos em limites de funções de duas variáveis e vamos usar o método de caminhos: testar substituições do tipo y=varphi(x) para ver se o valor do limite depende do caminho escolhido.

Passo 2

Testamos o caminho y=kx^2, com kinR. Substituindo na função:
f(x,kx^2) =x^2,(kx^2)x^4+(kx^2)^2 =k,x^4x^4+k^2x^4 =k,x^4x^4(1+k^2) =k1+k^2
Esse valor independe de x, logo ao fazermos xto0 obtemos
limxto0f(x,kx^2)=k1+k^2

Passo 3

Escolhendo dois valores de k distintos obtemos resultados diferentes:
Para k=0 ( y=0)
lim(x,0)to(0,0)f(x,0)=01=0,
enquanto para k=1 ( y=x^2)
lim(x,x^2)to(0,0)f(x,x^2)=12
Como 0neq12, o limite depende do caminho de aproximação.

Resposta

O limite lim(x,y)to(0,0) f(x,y) não existe. Dois caminhos que levam a resultados diferentes são
y =0, que dá limite 0,
e y = x^2, que dá limite 12.

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