(a) Estude o limite da função quando .
(b) O limite existe? Justifique.
(c) O que esse comportamento sugere do ponto de vista físico?
Dica: Use coordenadas polares ou caminhos distintos.
Passo 1
O enunciado pede para estudar
quando .
Conteúdo: limite de função de duas variáveis. Vamos precisar de coordenadas polares e do Teorema do Confronto (ou comparação).
Passo 2
Troquemos para coordenadas polares:
Substituindo em :
Passo 3
Reescrevendo
Note que , logo
l|f(r,theta)r| <= r2
Passo 4
Pelo Teorema do Confronto, como 0<=r2to0 quando rto0, segue
f(r,theta);longrightarrow;0 quando;rto0,
independentemente de theta.
Passo 5
Portanto o limite existe e vale
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0
Passo 6
Fisicamente, o fato de f tender a zero isotropicamente (independente da direção de aproximação) e proporcional a r ao redor da origem indica que não há singularidade no ponto (0,0). A dependência angular sin(2theta) sugere um padrão anisotrópico típico de dipolos ou quadropole, com intensidade máxima nas direções y=pm x e nula sobre os eixos.
Resposta
lim(x,y)to(0,0)xyraizx^2+y^2=0.
Sim, o limite existe e é igual a 0.
Do ponto de vista físico, isso indica ausência de singularidade na origem e comportamento anisotrópico de dipolo (máximo em theta=45^circ,135^circ, zero nos eixos).