Exercício 2 - Limite com interpretação geométrica

Considere a função:
f(x, y)=x yraizx^2+y^2, (x, y) neq(0,0)
(a) Estude o limite da função quando (x, y) (0,0).
(b) O limite existe? Justifique.
(c) O que esse comportamento sugere do ponto de vista físico?
Dica: Use coordenadas polares ou caminhos distintos.

Passo 1

O enunciado pede para estudar
f(x,y) ;=;x,yraizx^2+y^2,, (x,y)neq(0,0),
quando (x,y)to(0,0).
Conteúdo: limite de função de duas variáveis. Vamos precisar de coordenadas polares e do Teorema do Confronto (ou comparação).

Passo 2

Troquemos para coordenadas polares:
x = rcostheta, y = rsintheta, r = raizx^2+y^2, r>0
Substituindo em f:
f(r,theta) =(rcostheta)(rsintheta)raiz(rcostheta)^2+(rsintheta)^2 =r^2costhetasinthetar =r,costheta,sintheta

Passo 3

Reescrevendo
f(r,theta)=rl(costheta,sinthetar) =r2,sin(2theta)
Note que l|sin(2theta)r|<=1, logo
l|f(r,theta)r| <= r2

Passo 4

Pelo Teorema do Confronto, como 0<=r2to0 quando rto0, segue
f(r,theta);longrightarrow;0 quando;rto0,
independentemente de theta.

Passo 5

Portanto o limite existe e vale
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0

Passo 6

Fisicamente, o fato de f tender a zero isotropicamente (independente da direção de aproximação) e proporcional a r ao redor da origem indica que não há singularidade no ponto (0,0). A dependência angular sin(2theta) sugere um padrão anisotrópico típico de dipolos ou quadropole, com intensidade máxima nas direções y=pm x e nula sobre os eixos.

Resposta

lim(x,y)to(0,0)xyraizx^2+y^2=0.
Sim, o limite existe e é igual a 0.
Do ponto de vista físico, isso indica ausência de singularidade na origem e comportamento anisotrópico de dipolo (máximo em theta=45^circ,135^circ, zero nos eixos).

Exercícios relacionados