\square Uma revenda de carros usados oferece garantia total por 4 meses para todos os carros que vende, e este é o seu grande diferencial de marketing. Uma pesquisa anterior revelou que:
12% dos carros vendidos são Peugeot.
13% dos carros vendidos são Ford.
18% dos carros vendidos são Fiat.
16% dos carros vendidos são GM.
20% dos carros vendidos são Volkswagen.
21% dos carros vendidos são de outros fabricantes.
\square Dentre os compradores de Peugeot, 7% retornam à loja com alguma reclamação sobre o carro adquirido.
\square Dentre os compradores de Ford, 8% retornam à loja com alguma reclamação sobre o carro adquirido.
Dentre os compradores de Fiat, 15% retornam à loja com alguma reclamação sobre o carro adquirido.
Dentre os compradores de GM, 10% retornam à loja com alguma reclamação sobre o carro adquirido.
\square Dentre os compradores de Volkswagen, 16% retornam à loja com alguma reclamação sobre o carro adquirido.
\square Dentre os compradores de outras marcas, 18% retornam à loja com alguma reclamação sobre o carro adquirido.
\square Pergunta-se:
  • Um comprador entra na loja com uma reclamação durante o período de vigência da garantia.
  • Qual a probabilidade dele ter comprado um carro de cada uma das marcas (incluindo “outras”)?

Passo 1

Resumindo o enunciado: a revenda oferece garantia total de 4 meses e sabemos as probabilidades marginais das marcas \Pr(\text{Peugeot})=12\%, \Pr(\text{Ford})=13\%, \Pr(\text{Fiat})=18\%, \Pr(\text{GM})=16\%, \Pr(\text{Volkswagen})=20\%, \Pr(\text{Outras})=21\% e as probabilidades de reclamação condicionais \Pr(C\mid\text{Peugeot})=7\%, \Pr(C\mid\text{Ford})=8\%, \Pr(C\mid\text{Fiat})=15\%, \Pr(C\mid\text{GM})=10\%, \Pr(C\mid\text{Volkswagen})=16\%, \Pr(C\mid\text{Outras})=18\%. Queremos a probabilidade de cada marca dado que há uma reclamação no período da garantia. Vamos usar probabilidade total e Teorema de Bayes.

Passo 2

Para aplicar a lei da probabilidade total, calculemos
\Pr\text{(C)} = \Pr(\text{Peugeot})\,\Pr(C\mid\text{Peugeot}) + \Pr(\text{Ford})\,\Pr(C\mid\text{Ford}) + \Pr(\text{Fiat})\,\Pr(C\mid\text{Fiat}) + \Pr(\text{GM})\,\Pr(C\mid\text{GM}) + \Pr(\text{Volkswagen})\,\Pr(C\mid\text{Volkswagen}) + \Pr(\text{Outras})\,\Pr(C\mid\text{Outras}).

Passo 3

Substituindo os valores em forma decimal:
\begin{aligned} \Pr\text{(C)}&=0{,}12\times0{,}07 + 0{,}13\times0{,}08 + 0{,}18\times0{,}15 \\\ &\quad+ 0{,}16\times0{,}10 + 0{,}20\times0{,}16 + 0{,}21\times0{,}18 \\\ &=0{,}0084 + 0{,}0104 + 0{,}027 + 0{,}016 + 0{,}032 + 0{,}0378 = 0{,}1316. \end{aligned}

Passo 4

Agora aplicamos o Teorema de Bayes para cada marca:
\Pr(B\mid C) = \frac{\Pr(B)\,\Pr(C\mid B)}{\Pr\text{(C)}}.
Fazendo os cálculos:
\begin{aligned} \Pr(\text{Peugeot}\mid C)&=\frac{0{,}12\times0{,}07}{0{,}1316}\approx0{,}0638,\\\ \Pr(\text{Ford}\mid C)&=\frac{0{,}13\times0{,}08}{0{,}1316}\approx0{,}0790,\\\ \Pr(\text{Fiat}\mid C)&=\frac{0{,}18\times0{,}15}{0{,}1316}\approx0{,}2053,\\\ \Pr(\text{GM}\mid C)&=\frac{0{,}16\times0{,}10}{0{,}1316}\approx0{,}1216,\\\ \Pr(\text{Volkswagen}\mid C)&=\frac{0{,}20\times0{,}16}{0{,}1316}\approx0{,}2432,\\\ \Pr(\text{Outras}\mid C)&=\frac{0{,}21\times0{,}18}{0{,}1316}\approx0{,}2871. \end{aligned}

Resposta

\Pr(\text{Peugeot}\mid C)\approx6{,}38\% \Pr(\text{Ford}\mid C)\approx7{,}90\% \Pr(\text{Fiat}\mid C)\approx20{,}53\% \Pr(\text{GM}\mid C)\approx12{,}16\% \Pr(\text{Volkswagen}\mid C)\approx24{,}32\% \Pr(\text{Outras}\mid C)\approx28{,}71\%

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