Exercício 1. A probabilidade de uma perfuração de poço artesiano encontrar água em uma certa região é dE
. Qual a probabilidade de que o primeiro poço bem-sucedido seja exatamente o
a ser perfurado ?
Passo 1
O enunciado dá a seguinte informação: a probabilidade de uma perfuração encontrar água é
(ou
). A pergunta é: qual a probabilidade de que o primeiro poço bem‑sucedido ocorra exatamente no
poço perfurado?
Passo 2
Para resolver precisamos modelar as perfurações como uma sequência de tentativas independentes, cada uma com dois resultados possíveis: “sucesso” (encontrar água) com probabilidade
e “falha” com probabilidade
. Aqui temos
.
O evento “o primeiro sucesso é exatamente no poço” significa que nas três primeiras perfurações houve falha e na quarta houve sucesso. Como as tentativas são independentes, a probabilidade dessa sequência é o produto das probabilidades de cada resultado.
O evento “o primeiro sucesso é exatamente no
Passo 3
A fórmula geral para a probabilidade de o primeiro sucesso acontecer no
-ésimo ensaio é
onde:
-
é a probabilidade de sucesso em cada ensaio; -
é a posição do primeiro sucesso (aqui ); -
representa as falhas iniciais.
Essa fórmula vem diretamente da multiplicação das probabilidades defalhas seguidas de um sucesso, por independência.
Passo 4
Substituindo
e
na fórmula, obtemos
Calculemos passo a passo sem calculadora: escrevendo como frações,
Multiplicando por
,
Passo 5
Portanto a probabilidade de o primeiro poço com água ser exatamente o quarto perfurado é
, ou seja cerca de
. Lembre-se: a ideia-chave é “falhas até o momento, depois sucesso” e usar multiplicação por independência.