Exercício 1. A probabilidade de uma perfuração de poço artesiano encontrar água em uma certa região é dE 30 \%. Qual a probabilidade de que o primeiro poço bem-sucedido seja exatamente o 4^{\circ} a ser perfurado ?

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação: a probabilidade de uma perfuração encontrar água é \,0{,}30 (ou 30\%). A pergunta é: qual a probabilidade de que o primeiro poço bem‑sucedido ocorra exatamente no 4^{\circ} poço perfurado?

Passo 2

Para resolver precisamos modelar as perfurações como uma sequência de tentativas independentes, cada uma com dois resultados possíveis: “sucesso” (encontrar água) com probabilidade \,p e “falha” com probabilidade \,1-p. Aqui temos \,p=0{,}30.
O evento “o primeiro sucesso é exatamente no 4^{\circ} poço” significa que nas três primeiras perfurações houve falha e na quarta houve sucesso. Como as tentativas são independentes, a probabilidade dessa sequência é o produto das probabilidades de cada resultado.

Passo 3

A fórmula geral para a probabilidade de o primeiro sucesso acontecer no k-ésimo ensaio é
(1-p)^{k-1}\,p,
onde:
  • \,p é a probabilidade de sucesso em cada ensaio;
  • \,k é a posição do primeiro sucesso (aqui \,k=4);
  • (1-p)^{k-1} representa as (k-1) falhas iniciais.
    Essa fórmula vem diretamente da multiplicação das probabilidades de (k-1) falhas seguidas de um sucesso, por independência.

Passo 4

Substituindo \,p=0{,}30 e \,k=4 na fórmula, obtemos
(1-0{,}30)^{3}\cdot 0{,}30 = 0{,}70^{3}\cdot 0{,}30.
Calculemos passo a passo sem calculadora: escrevendo como frações,
0{,}70 = \frac{7}{10}\quad\Rightarrow\quad 0{,}70^{3}=\left(\frac{7}{10}\right)^{3}=\frac{7^{3}}{10^{3}}=\frac{343}{1000}=0{,}343.
Multiplicando por \,0{,}30=\frac{3}{10},
0{,}343\cdot 0{,}30 = \frac{343}{1000}\cdot\frac{3}{10}=\frac{1029}{10000}=0{,}1029.

Passo 5

Portanto a probabilidade de o primeiro poço com água ser exatamente o quarto perfurado é \,0{,}1029, ou seja cerca de 10{,}29\%. Lembre-se: a ideia-chave é “falhas até o momento, depois sucesso” e usar multiplicação por independência.

Resposta

(0{,}7)^{3}\cdot 0{,}3 = 0{,}1029

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