Verdadeiro ou Falso? Satisfeitas as condições do Teorema de Green, esse teorema pode também ser reescrito assim
\oint_{\partial D} \vec{F} d \vec{r}=\iint_{D}\|\operatorname{rot} \vec{F}\| d x d y

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a igualdade abaixo é verdadeira ou falsa, sabendo que estão satisfeitas as hipóteses do Teorema de Green:
\oint_{\partial D} \vec{F}\,d\vec{r}=\iint_{D}\|\operatorname{rot}\vec{F}\|\,dx\,dy.
Informações dadas (explicitadas):
  • Há uma região D\subset\mathbb{R}^2 com fronteira \partial D suficientemente regular (peças suaves), e as hipóteses do Teorema de Green são satisfeitas.
  • \vec{F} é um campo vetorial adequado (componentes com derivadas parciais contínuas) definido em D.
  • A igualdade propositalmente troca o termo usual do Teorema de Green pelo valor absoluto (norma) de \operatorname{rot}\vec{F}.

Passo 2

O que diz (na prática) o Teorema de Green que vamos usar aqui?
  • Para um campo planar \vec{F}=(P,Q) com P,Q de classe C^1 em uma região D com fronteira \partial D orientada positivamente (no sentido anti-horário), o Teorema de Green afirma:
\oint_{\partial D} P\,dx+Q\,dy=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dx\,dy.
  • A quantidade \dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y} é o “rotacional escalar” em 2D; se escrevermos \operatorname{rot}\vec{F} como um vetor 3D com componente k, então
\operatorname{rot}\vec{F}=\bigl(0,0,\tfrac{\partial Q}{\partial x}-\tfrac{\partial P}{\partial y}\bigr).
  • Portanto, o Teorema de Green relaciona a integral de linha com a integral dupla do escalar \dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}, isto é, sem valor absoluto.

Passo 3

O que significa \|\operatorname{rot}\vec{F}\| no enunciado?
  • Como \operatorname{rot}\vec{F}=(0,0,\omega) com \omega=\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}, a norma é
\|\operatorname{rot}\vec{F}\|=|\omega|=\left|\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right|.
  • Assim, o lado direito da igualdade proposta é
\iint_{D}\|\operatorname{rot}\vec{F}\|\,dx\,dy=\iint_{D}\left|\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right|\,dx\,dy.
  • Compare com o Teorema de Green: lá aparece a integral dupla do escalar \omega (com sinal), não do seu valor absoluto. Em geral \iint_D \omega\neq \iint_D |\omega| salvo em casos especiais.

Passo 4

Conclusão teórica rápida: por que a igualdade geral é suspeita?
  • O valor \iint_D \omega pode ser negativo, positivo ou zero, dependendo do sinal de \omega na região; já \iint_D |\omega| é sempre não negativo.
  • Portanto, a igualdade só poderia ser válida em todos os casos se sempre valesse \iint_D \omega=\iint_D |\omega|, o que exige \omega\ge 0 em D (ou, se a orientação da curva fosse invertida, \omega\le 0 em D). Em geral isso NÃO é garantido pelas hipóteses do Teorema de Green.

Passo 5

Contraexemplo concreto (passo a passo) que mostra que a afirmação é falsa.
  • Escolher um domínio simples: D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 1\} (o disco unitário). Essa região satisfaz as hipóteses do Teorema de Green.
  • Definir o campo
\vec{F}(x,y)=\bigl(P,Q\bigr)=\Bigl(\tfrac{y}{2},-\tfrac{x}{2}\Bigr).
  • Calcular o rotacional escalar \omega=\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(-\tfrac{x}{2}\Bigr)=-\tfrac{1}{2},\qquad \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\tfrac{y}{2}\Bigr)=\tfrac{1}{2}.
Logo
\omega=\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=-\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}=-1.
Observação: \omega é constante e negativa em todo D.
  • Aplicar o Teorema de Green para calcular a integral de linha (com orientação positiva, anti-horário):
\oint_{\partial D}\vec{F}\,d\vec{r}=\iint_{D}\omega\,dx\,dy=\iint_{D}(-1)\,dx\,dy=-\operatorname{Area}(D)=-\pi.
  • Calcular o lado direito proposto com a norma do rotacional:
\iint_{D}\|\operatorname{rot}\vec{F}\|\,dx\,dy=\iint_{D}|\omega|\,dx\,dy=\iint_{D}1\,dx\,dy=\operatorname{Area}(D)=\pi.
  • Resultado: o lado esquerdo vale -\pi e o lado direito vale \pi. São diferentes, logo a igualdade proposta falha neste caso concreto.

Passo 6

Resumo didático do que aprender com isso (como usar na prova)
  • O Teorema de Green relaciona a integral de linha a \iint_D \omega onde \omega=\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}. Atenção ao sinal: a orientação positiva da curva (anti-horário) e o sinal de \omega são essenciais.
  • Não se pode substituir \omega por |\omega| dentro da integral dupla, exceto quando se tem informação adicional que garante \omega\ge0 (ou \omega\le0 se a orientação for invertida) em toda a região.
  • Na prova, quando aparecerem igualdades deste tipo, verifique o papel do sinal e, para refutar, pense em campos com rotacional de sinal negativo constante (ou positivo) e em domínios simples (disco, retângulo) para construir um contraexemplo rápido.

Resposta

Falso.

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