Sejam P(x, y) e Q(x, y) funções de classe C^{1} na região D: 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 4, tais que P_{y}=Q_{x}. Quantos valores são possíveis para a integral de linha \oint_{C} P d x+Q d y, sendo C uma curva simples, fechada, regular por partes e contida em D.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede o que está abaixo:
  • Informações dadas:
    • P(x,y) e Q(x,y) são funções de classe C^{1} na região D definida por 1 \le x^{2}+y^{2} \le 4.
    • As derivadas satisfazem P_{y}=Q_{x} em D.
    • C é uma curva simples, fechada, regular por partes e contida em D.
  • O que é pedido:
    • Determinar quantos valores diferentes são possíveis para a integral de linha \displaystyle \oint_{C} P\,dx + Q\,dy quando C varia entre todas as curvas simples, fechadas, regulares por partes contidas em D.

Passo 2

Entender a condição P_{y}=Q_{x} e o que ela implica.
  • Definição útil: para o campo vetorial \mathbf{F}=(P,Q) no plano, a “rotacional escalar” (ou “curl”) é \text{curl}\,\mathbf{F}=Q_{x}-P_{y}.A condição dada é P_{y}=Q_{x}, ou seja \text{curl}\,\mathbf{F}=0\quad\text{em }D.
  • Teorema conhecido (intuição): se \text{curl}\,\mathbf{F}=0 numa região simplesmente conexa e P,Q são C^{1}, então \mathbf{F} é campo conservativo (ou seja, existe potencial f tal que \nabla f=\mathbf{F}) e assim a integral de linha sobre qualquer curva fechada é zero.
Vou explicar com calma: “simplesmente conexa” significa que toda curva fechada pode ser deformada continuamente até um ponto sem sair da região (ou equivalentemente, não há ‘buracos’). Se isso vale, \oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=0 para toda curva fechada C.

Passo 3

Verificar a topologia da região D.
  • A região D é o anel (ou coroa) entre os círculos de raio 1 e 2: D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid 1\le x^{2}+y^{2}\le 4\}.
  • Essa região não é simplesmente conexa: existe um buraco interno (o disco x^{2}+y^{2}<1 não pertence a D). Portanto a condição \text{curl}\,\mathbf{F}=0 não garante imediatamente que todas as integrais de laço sejam zero. Há diferentes “classes” de curvas, classificadas pelo número de voltas (winding number) em torno do buraco central (o ponto (0,0)).
Explicando de modo simples: curvas que não passam em volta do buraco (são “contráteis” no anel) podem ser contraídas a um ponto dentro de D; curvas que dão uma volta inteira ao redor do buraco não podem ser contraídas sem atravessar o buraco.

Passo 4

Propriedade: integral é invariante por homotopia relativa em D.
  • Enunciado preciso: se C_{1} e C_{2} são duas curvas fechadas em D que podem ser deformadas uma na outra permanecendo sempre em D (isto é, são homotópicas em D com mesma orientação), então \oint_{C_{1}} P\,dx+Q\,dy = \oint_{C_{2}} P\,dx+Q\,dy.
  • Prova (completa, mas direta): considere a homotopia que deforma C_{1} em C_{2}. A diferença das integrais é a integral sobre a fronteira orientada de uma região R\subset D (imagine a região coberta pela homotopia); aplicando o Teorema de Green (a hipótese P,Q\in C^{1} permite aplicá-lo) obtemos \oint_{\partial R} P\,dx+Q\,dy = \iint_{R} (Q_{x}-P_{y})\,dA = \iint_{R} 0\,dA = 0.Logo as integrais coincidem. Assim, a integral depende apenas da classe de homotopia de C em D.
Vou explicar Green de forma bem direta: Green relaciona integral de contorno com integral dupla do curl sobre a região interna; como o curl é zero, a integral de contorno do contorno dessa região é zero.

Passo 5

Classificar as classes de curvas fechadas em D.
  • A topologia do anel faz com que as classes de homotopia de curvas fechadas correspondam a um inteiro n\in\mathbb{Z}: o número inteiro n é o número de voltas (winding number) que a curva dá em torno do buraco (0,0). O conjunto de classes é isomorfo a \mathbb{Z}.
  • Particularmente, existe uma curva geradora simples C_{0} (por exemplo, a circunferência \{x^{2}+y^{2}=r^{2}\} com 1<r<2 orientada positivamente) que tem winding number 1. Uma curva com winding number n é homotópica, em D, à curva obtida por percorrer C_{0} exatamente n vezes.
Em palavras: qualquer curva fechada C\subset D é homotópica a n voltas do círculo gerador, para algum n\in\mathbb{Z}.

Passo 6

Concluir a forma das integrais possíveis.
  • Seja I o valor da integral sobre a volta geradora C_{0}: I := \oint_{C_{0}} P\,dx+Q\,dy.
  • Se C tem winding number n, pela invariância por homotopia a integral sobre C é a integral sobre n voltas de C_{0}, isto é \oint_{C} P\,dx+Q\,dy = n\,I.
  • Portanto o conjunto de valores possíveis, quando C varia por todas as curvas simples fechadas em D, é \{\,nI \mid n\in\mathbb{Z}\,\}.
Explicando a multiplicidade: percorrer C_{0} duas vezes soma a integral duas vezes, e assim por diante; percorrer no sentido contrário corresponde a n negativo.

Passo 7

Analisar casos e dar a resposta em número de valores possíveis.
  • Se I=0 então \{nI:n\in\mathbb{Z}\}=\{0\}. Nesse caso todas as integrais fechadas valem zero e há apenas 1 valor possível.
  • Se I\neq 0 então \{nI:n\in\mathbb{Z}\} é um conjunto infinito enumerável (contável) — há infinitos valores possíveis, pois cada n dá um valor distinto.

Passo 8

Dar um exemplo que mostra que é possível ter I\neq 0.
  • Considere o campo P(x,y)=-\frac{y}{x^{2}+y^{2}},\qquad Q(x,y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}},definido e C^{1} em D (pois D exclui a origem). Calcula-se o curl: Q_{x}-P_{y}=0\quad\text{em }D.A integral sobre a circunferência C_{0}:\\ x^{2}+y^{2}=r^{2} com 1<r<2 é \oint_{C_{0}} P\,dx+Q\,dy = 2\pi.(Esse é um cálculo padrão: em coordenadas polares o campo é \mathbf{F}=\dfrac{1}{r}\mathbf{e}_{\theta} e a integral sobre uma volta dá 2\pi.)
  • Assim existe exemplo com I\neq 0, mostrando que o caso “infinitos valores distintos” realmente ocorre.

Resposta

Ou só 0 (caso \displaystyle I=\oint_{C_{0}}P\,dx+Q\,dy=0) ou então contavelmente infinitos (o conjunto \{nI:n\in\mathbb{Z}\} com I\neq0).

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