Sejam
e
funções de classe
na região
, tais que
. Quantos valores são possíveis para a integral de linha
, sendo
uma curva simples, fechada, regular por partes e contida em
.
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pede o que está abaixo:
-
Informações dadas:
-
e são funções de classe na região definida por . - As derivadas satisfazem
em . -
é uma curva simples, fechada, regular por partes e contida em .
-
-
O que é pedido:
- Determinar quantos valores diferentes são possíveis para a integral de linha
quando varia entre todas as curvas simples, fechadas, regulares por partes contidas em .
- Determinar quantos valores diferentes são possíveis para a integral de linha
Passo 2
Entender a condição
e o que ela implica.
- Definição útil: para o campo vetorial
no plano, a “rotacional escalar” (ou “curl”) é A condição dada é , ou seja - Teorema conhecido (intuição): se
numa região simplesmente conexa e são , então é campo conservativo (ou seja, existe potencial tal que ) e assim a integral de linha sobre qualquer curva fechada é zero.
Vou explicar com calma: “simplesmente conexa” significa que toda curva fechada pode ser deformada continuamente até um ponto sem sair da região (ou equivalentemente, não há ‘buracos’). Se isso vale,
para toda curva fechada
.
Passo 3
Verificar a topologia da região
.
- A região
é o anel (ou coroa) entre os círculos de raio e : - Essa região não é simplesmente conexa: existe um buraco interno (o disco
não pertence a ). Portanto a condição não garante imediatamente que todas as integrais de laço sejam zero. Há diferentes “classes” de curvas, classificadas pelo número de voltas (winding number) em torno do buraco central (o ponto ).
Explicando de modo simples: curvas que não passam em volta do buraco (são “contráteis” no anel) podem ser contraídas a um ponto dentro de
; curvas que dão uma volta inteira ao redor do buraco não podem ser contraídas sem atravessar o buraco.
Passo 4
Propriedade: integral é invariante por homotopia relativa em
.
- Enunciado preciso: se
e são duas curvas fechadas em que podem ser deformadas uma na outra permanecendo sempre em (isto é, são homotópicas em com mesma orientação), então - Prova (completa, mas direta): considere a homotopia que deforma
em . A diferença das integrais é a integral sobre a fronteira orientada de uma região (imagine a região coberta pela homotopia); aplicando o Teorema de Green (a hipótese permite aplicá-lo) obtemos Logo as integrais coincidem. Assim, a integral depende apenas da classe de homotopia de em .
Vou explicar Green de forma bem direta: Green relaciona integral de contorno com integral dupla do curl sobre a região interna; como o curl é zero, a integral de contorno do contorno dessa região é zero.
Passo 5
Classificar as classes de curvas fechadas em
.
- A topologia do anel faz com que as classes de homotopia de curvas fechadas correspondam a um inteiro
: o número inteiro é o número de voltas (winding number) que a curva dá em torno do buraco . O conjunto de classes é isomorfo a . - Particularmente, existe uma curva geradora simples
(por exemplo, a circunferência com orientada positivamente) que tem winding number . Uma curva com winding number é homotópica, em , à curva obtida por percorrer exatamente vezes.
Em palavras: qualquer curva fechada
é homotópica a
voltas do círculo gerador, para algum
.
Passo 6
Concluir a forma das integrais possíveis.
- Seja
o valor da integral sobre a volta geradora : - Se
tem winding number , pela invariância por homotopia a integral sobre é a integral sobre voltas de , isto é - Portanto o conjunto de valores possíveis, quando
varia por todas as curvas simples fechadas em , é
Explicando a multiplicidade: percorrer
duas vezes soma a integral duas vezes, e assim por diante; percorrer no sentido contrário corresponde a
negativo.
Passo 7
Analisar casos e dar a resposta em número de valores possíveis.
- Se
então . Nesse caso todas as integrais fechadas valem zero e há apenas 1 valor possível. - Se
então é um conjunto infinito enumerável (contável) — há infinitos valores possíveis, pois cada dá um valor distinto.
Passo 8
Dar um exemplo que mostra que é possível ter
.
- Considere o campo
definido e em (pois exclui a origem). Calcula-se o curl: A integral sobre a circunferência com é (Esse é um cálculo padrão: em coordenadas polares o campo é e a integral sobre uma volta dá .) - Assim existe exemplo com
, mostrando que o caso “infinitos valores distintos” realmente ocorre.
Resposta
Ou só
(caso
) ou então contavelmente infinitos (o conjunto
com
).