Seja
o arco constituído do segmento de reta de
até
, seguido do segmento de
até
. Calcule
.
Passo 1
O enunciado dá a integral de linha
onde
é o arco formado por dois segmentos de reta em sequência:
- segmento de
até ; - em seguida, segmento de
até .
Informações relevantes fornecidas:
- O integrando pode ser visto como uma 1-forma
com - A curva
é composta por duas partes (duas parametraizações a usar). - A pergunta é: calcular o valor numérico da integral de linha ao longo de
.
Passo 2
Fórmula útil (definição prática): se uma curva é dada por uma parametrização
para
em
, então a integral de linha
é calculada por
Aqui
e
. Vou aplicar essa fórmula separadamente em cada segmento de
e somar os resultados (porque a integral ao longo de um caminho composto é a soma das integrais ao longo das partes).
Explicando o que cada símbolo representa:
-
e são as funções que multiplicam e . -
é a posição ao longo do segmento quando o parâmetro vale . - A expressão dentro da integral é a combinação de
e avaliadas na parametrização, multiplicadas pelas derivadas de e .
Passo 3
Parametrização do primeiro segmento (de
até
):
Escolho a parametrização linear simples
Então
Avalio
e
nessa parametrização:
Aplicando a fórmula da integral:
Substituindo:
Agrupando o fator
:
Passo 4
Simplificar
trocando de variável para ficar com integrais padrão.
Faço a troca
. Então
. Quando
tem
; quando
tem
. Substituindo na integral:
Com
e invertendo os limites:
Invertendo os limites para
a
(trocando sinal):
Portanto
Passo 5
Parametrização do segundo segmento (de
até
):
Escolho a parametrização
Então
Avalio
e
:
A integral sobre esse segmento é
Passo 6
Somar as contribuições dos dois segmentos:
Substituindo as expressões obtidas:
Como as variáveis de integração são dummy, podemos trocar
por
no segundo integral e observar que as partes
se cancelam:
Logo os termos com
aniquilam-se, deixando
Agora calculo as integrais de potências (que são básicas e fáceis de fazer sem calculadora):
Somando:
Colocando em denominador comum
:
Portanto
Passo 7
Interpretação final: a integral de linha ao longo de
é o número
. Observação simpática: a parte não elemental
apareceu nos dois trechos com sinais opostos e por isso se cancelou — por isso o resultado ficou em termos de integrais polinomiais fáceis.