Seja C o arco constituído do segmento de reta de (1,1) até (0,0), seguido do segmento de (0,0) até (1,0). Calcule \int_{C}\left[y^{2}+\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)\right] d x+\left(x+y^{3}\right) d y.

Passo 1

O enunciado dá a integral de linha
\int_{C}\bigl[y^{2}+\operatorname{sen}(x^{2})\bigr]\,dx+(x+y^{3})\,dy
onde C é o arco formado por dois segmentos de reta em sequência:
  • segmento de (1,1) até (0,0);
  • em seguida, segmento de (0,0) até (1,0).
Informações relevantes fornecidas:
  • O integrando pode ser visto como uma 1-forma P\,dx+Q\,dy com P(x,y)=y^{2}+\operatorname{sen}(x^{2}),\qquad Q(x,y)=x+y^{3}.
  • A curva C é composta por duas partes (duas parametraizações a usar).
  • A pergunta é: calcular o valor numérico da integral de linha ao longo de C.

Passo 2

Fórmula útil (definição prática): se uma curva é dada por uma parametrização (x(t),y(t)) para t em [a,b], então a integral de linha
\int_{C}P\,dx+Q\,dy
é calculada por
\int_{a}^{b}\bigl(P(x(t),y(t))\,x'(t)+Q(x(t),y(t))\,y'(t)\bigr)\,dt.
Aqui x'(t)=\dfrac{dx}{dt} e y'(t)=\dfrac{dy}{dt}. Vou aplicar essa fórmula separadamente em cada segmento de C e somar os resultados (porque a integral ao longo de um caminho composto é a soma das integrais ao longo das partes).
Explicando o que cada símbolo representa:
  • P(x,y) e Q(x,y) são as funções que multiplicam dx e dy.
  • (x(t),y(t)) é a posição ao longo do segmento quando o parâmetro vale t.
  • A expressão dentro da integral é a combinação de P e Q avaliadas na parametrização, multiplicadas pelas derivadas de x e y.

Passo 3

Parametrização do primeiro segmento (de (1,1) até (0,0)):
Escolho a parametrização linear simples
x_{1}(t)=1-t,\qquad y_{1}(t)=1-t,\qquad t\in[0,1].
Então
x_{1}'(t)=-1,\qquad y_{1}'(t)=-1.
Avalio P e Q nessa parametrização:
P(x_{1}(t),y_{1}(t))=(1-t)^{2}+\operatorname{sen}\bigl((1-t)^{2}\bigr),
Q(x_{1}(t),y_{1}(t))=(1-t)+(1-t)^{3}.
Aplicando a fórmula da integral:
I_{1}=\int_{0}^{1}\bigl(P(x_{1},y_{1})\,x_{1}'+Q(x_{1},y_{1})\,y_{1}'\bigr)\,dt.
Substituindo:
I_{1}=\int_{0}^{1}\Bigl(\bigl((1-t)^{2}+\operatorname{sen}((1-t)^{2})\bigr)(-1)+\bigl((1-t)+(1-t)^{3}\bigr)(-1)\Bigr)\,dt.
Agrupando o fator -1:
I_{1}=-\int_{0}^{1}\Bigl((1-t)^{2}+(1-t)^{3}+(1-t)+\operatorname{sen}((1-t)^{2})\Bigr)\,dt.

Passo 4

Simplificar I_{1} trocando de variável para ficar com integrais padrão.
Faço a troca u=1-t. Então du=-dt. Quando t=0 tem u=1; quando t=1 tem u=0. Substituindo na integral:
I_{1}=-\int_{t=0}^{1}\Bigl(u^{2}+u^{3}+u+\operatorname{sen}(u^{2})\Bigr)\,dt.
Com dt=-du e invertendo os limites:
I_{1}=-\int_{u=1}^{0}\Bigl(u^{2}+u^{3}+u+\operatorname{sen}(u^{2})\Bigr)(-du) = -\bigl(-\bigr)\int_{1}^{0}\bigl(\cdots\bigr)\,du = \int_{1}^{0}\bigl(\cdots\bigr)\,du.
Invertendo os limites para 0 a 1 (trocando sinal):
I_{1}= -\int_{0}^{1}\Bigl(u^{2}+u^{3}+u+\operatorname{sen}(u^{2})\Bigr)\,du.
Portanto
I_{1}= -\int_{0}^{1}u^{2}\,du \;-\int_{0}^{1}u^{3}\,du \;-\int_{0}^{1}u\,du \;-\int_{0}^{1}\operatorname{sen}(u^{2})\,du.

Passo 5

Parametrização do segundo segmento (de (0,0) até (1,0)):
Escolho a parametrização
x_{2}(t)=t,\qquad y_{2}(t)=0,\qquad t\in[0,1].
Então
x_{2}'(t)=1,\qquad y_{2}'(t)=0.
Avalio P e Q:
P(x_{2}(t),y_{2}(t))=0+\operatorname{sen}(t^{2})=\operatorname{sen}(t^{2}),
Q(x_{2}(t),y_{2}(t))=t+0=t.
A integral sobre esse segmento é
I_{2}=\int_{0}^{1}\bigl(P(x_{2},y_{2})\,x_{2}'+Q(x_{2},y_{2})\,y_{2}'\bigr)\,dt =\int_{0}^{1}\operatorname{sen}(t^{2})\cdot 1\,dt =\int_{0}^{1}\operatorname{sen}(t^{2})\,dt.

Passo 6

Somar as contribuições dos dois segmentos:
\int_{C}P\,dx+Q\,dy = I_{1}+I_{2}.
Substituindo as expressões obtidas:
I_{1}+I_{2}=-\int_{0}^{1}\bigl(u^{2}+u^{3}+u+\operatorname{sen}(u^{2})\bigr)\,du +\int_{0}^{1}\operatorname{sen}(t^{2})\,dt.
Como as variáveis de integração são dummy, podemos trocar t por u no segundo integral e observar que as partes \operatorname{sen}(u^{2}) se cancelam:
I_{1}+I_{2}=-\int_{0}^{1}\bigl(u^{2}+u^{3}+u\bigr)\,du -\int_{0}^{1}\operatorname{sen}(u^{2})\,du +\int_{0}^{1}\operatorname{sen}(u^{2})\,du.
Logo os termos com \operatorname{sen}(u^{2}) aniquilam-se, deixando
I_{1}+I_{2}=-\int_{0}^{1}\bigl(u^{2}+u^{3}+u\bigr)\,du.
Agora calculo as integrais de potências (que são básicas e fáceis de fazer sem calculadora):
\int_{0}^{1}u\,du=\frac{1}{2},\qquad \int_{0}^{1}u^{2}\,du=\frac{1}{3},\qquad \int_{0}^{1}u^{3}\,du=\frac{1}{4}.
Somando:
\int_{0}^{1}\bigl(u^{2}+u^{3}+u\bigr)\,du=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}.
Colocando em denominador comum 12:
\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{4}{12}+\frac{3}{12}+\frac{6}{12}=\frac{13}{12}.
Portanto
I_{1}+I_{2}=-\frac{13}{12}.

Passo 7

Interpretação final: a integral de linha ao longo de C é o número -\dfrac{13}{12}. Observação simpática: a parte não elemental \int_{0}^{1}\sin(x^{2})\,dx apareceu nos dois trechos com sinais opostos e por isso se cancelou — por isso o resultado ficou em termos de integrais polinomiais fáceis.

Resposta

-\dfrac{13}{12}

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