(Exercício 6.2.1 do livro do Reginaldo) Encontre uma matriz ortogonal P tal que A=P D P^{t}, em que D é uma matriz diagonal, se (Em (b) e (c), veja a Proposição 6.2 e o Exemplo 6.4 do livro do Reginaldo. )
A=\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 1 & 2\end{array}\right);

Passo 1

O enunciado pede a diagonalização ortogonal da matriz
A=\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 1 & 2\end{pmatrix}
isto é, encontrar uma matriz ortogonal P e uma diagonal D tais que
A = P\,D\,P^{t}.
Como A é simétrica, vamos usar o Teorema Espectral: calcular seus autovalores, obter autovetores ortogonais, normalizá-los e montar P.

Passo 2

Para achar os autovalores, formamos o polinômio característico
\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix}2-\lambda & 1\\\ 1 & 2-\lambda\end{pmatrix} =(2-\lambda)^2 - 1 =\lambda^2 -4\lambda +3.
As raízes são
\lambda^2 -4\lambda +3=0 \;\Longrightarrow\; \lambda=1,\;3.

Passo 3

Agora achamos um autovetor para cada autovalor.
Para \lambda=3, resolvemos
(A-3I)v=0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}-1 & 1\\\ 1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix},
o que dá -x+y=0, logo y=x. Um autovetor é v_1=(1,1).
Para \lambda=1, resolvemos
(A-1I)v=0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}1 & 1\\\ 1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix},
o que dá x+y=0, logo y=-x. Um autovetor é v_2=(1,-1).

Passo 4

Normalizamos v_1 e v_2 para obter uma base ortonormal. O comprimento de cada um é \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}. Definimos
e_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}, \quad e_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}.
Colocando e_1 e e_2 como colunas de P, obtemos
P = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1\\\\ 1 & -1 \end{pmatrix},
que satisfaz P^{t}P = I.

Passo 5

A matriz diagonal D tem os autovalores nas posições correspondentes às colunas de P:
D = \begin{pmatrix}3 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.
De fato, verifica-se que A = P\,D\,P^{t}.

Resposta

P = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&-1\end{pmatrix}
D = \displaystyle \begin{pmatrix}3&0\\\ 0&1\end{pmatrix}

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