Se possível, ache para cada matriz A uma matriz não-singular P tal que A=P D P^{-1}, \operatorname{com} D diagonal:
A=\left(\begin{array}{rr}1 & 0 \\\\ -2 & 1\end{array}\right);

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[-6pt] -2 & 1\end{pmatrix}
é diagonalizável, isto é, se existe uma matriz invertível P e uma diagonal D tais que A = P\,D\,P^{-1}. Vamos usar a teoria de autovalores e autovetores: primeiro encontramos os autovalores de A, depois as dimensões dos espaços próprios associados e, enfim, concluímos se dá para montar P.]

Passo 2

Calcular o polinômio característico de A.
\chi_A(\lambda) = \det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}1-\lambda & 0 \\[-4pt] -2 & 1-\lambda\end{pmatrix} = (1-\lambda)^2.
Logo o único autovalor é \lambda=1 com multiplicidade algébrica 2.]

Passo 3

Determinar o espaço próprio associado a \lambda=1, resolvendo (A - I)v = 0.
A - I = \begin{pmatrix}0 & 0 \\[-4pt] -2 & 0\end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix}0 & 0 \\[-4pt] -2 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1 \\\ v_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\\\ 0\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; -2\,v_1 = 0 \;\Rightarrow\; v_1=0.
Portanto os vetores próprios são da forma
\bigl(0,\,v_2\bigr), com v_2\neq0. O espaço próprio tem dimensão 1.]

Passo 4

Como o autovalor \lambda=1 tem multiplicidade algébrica 2, mas o espaço próprio tem dimensão geométrica apenas 1, não há bases de \Bbb R^2 formadas por autovetores de A. Isso significa que A não é diagonalizável.

Resposta

A matriz A não pode ser escrita na forma A = P\,D\,P^{-1} com D diagonal, pois falta dimensão do espaço próprio.

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