Se possível, ache para cada matriz A uma matriz não-singular P tal que A=P D P^{-1}, \operatorname{com} D diagonal: A=\left(\begin{array}{rr}1 & 0 \\\\ -2 & 1\end{array}\right);
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a matriz
A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[-6pt] -2 & 1\end{pmatrix}
é diagonalizável, isto é, se existe uma matriz invertível P e uma diagonal D tais que A = P\,D\,P^{-1}. Vamos usar a teoria de autovalores e autovetores: primeiro encontramos os autovalores de A, depois as dimensões dos espaços próprios associados e, enfim, concluímos se dá para montar P.]
Portanto os vetores próprios são da forma \bigl(0,\,v_2\bigr), com v_2\neq0. O espaço próprio tem dimensão 1.]
Passo 4
Como o autovalor \lambda=1 tem multiplicidade algébrica 2, mas o espaço próprio tem dimensão geométrica apenas 1, não há bases de \Bbb R^2 formadas por autovetores de A. Isso significa que A não é diagonalizável.
Resposta
A matriz A não pode ser escrita na forma A = P\,D\,P^{-1} com D diagonal, pois falta dimensão do espaço próprio.