• Exercício 2: Em um lote de 20 peças, 4 são defeituosas. Se extrairmos uma amostra de 5 peças sem reposição, qual a probabilidade de encontrar exatamente 1 defeituosa?

Passo 1

O enunciado fornece:
  • Tamanho do lote: \,20 peças.
  • Número de peças defeituosas no lote: \,4.
  • Amostra retirada sem reposição: tamanho \,5.
    O que se pede: a probabilidade de encontrar exatamente \,1 peça defeituosa entre as \,5 retiradas.

Passo 2

Ideia geral (explicada de forma concreta): quando extraímos sem reposição e contamos quantas “sucessos” (aqui, peças defeituosas) aparecem em uma amostra, a maneira correta é contar quantas amostras possíveis são favoráveis e dividir pelo número total de amostras possíveis. Cada amostra de \,5 peças é uma combinação (a ordem não importa). Então:
  • Número de amostras totais = número de maneiras de escolher \,5 peças entre \,20.
  • Número de amostras favoráveis (exatamente 1 defeituosa) = escolher \,1 defeituosa dentre as \,4 disponíveis e escolher \,4 não-defeituosas dentre as 20-4=16 restantes.
A probabilidade será a razão entre essas duas contagens.

Passo 3

Vamos lembrar a definição de combinação usada aqui. A combinação de \,n elementos tomados \,k a \,k é
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) é n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1. Isso dá o número de subconjuntos de tamanho k que podem ser formados a partir de n elementos (ordem não importa). Exemplo curto: \binom{4}{1}=\dfrac{4!}{1!3!}=4.

Passo 4

Escrevendo a fórmula da probabilidade conforme a contagem combinatória:
P(\text{exatamente 1 defeituosa})=\frac{\binom{4}{1}\,\binom{16}{4}}{\binom{20}{5}}.
Aqui:
  • \binom{4}{1} = maneiras de escolher a 1 defeituosa entre 4.
  • \binom{16}{4} = maneiras de escolher as 4 não-defeituosas entre 16.
  • \binom{20}{5} = maneiras totais de escolher 5 peças entre 20.

Passo 5

Calcular cada combinação passo a passo.
Primeiro,
\binom{4}{1}=4.
Agora \binom{16}{4}. Usando a fórmula:
\binom{16}{4}=\frac{16\cdot15\cdot14\cdot13}{4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Fazendo contas com simplificações:
  • 4\cdot3\cdot2\cdot1=24.
  • Numerador: 16\cdot15=240; 240\cdot14=3360; 3360\cdot13=43680.
  • Dividindo: \dfrac{43680}{24}=1820.
    Portanto,
\binom{16}{4}=1820.

Passo 6

Agora \binom{20}{5}:
\binom{20}{5}=\frac{20\cdot19\cdot18\cdot17\cdot16}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}.
O denominador 5!=120. Numerador passo a passo:
  • 20\cdot19=380.
  • 380\cdot18=6840.
  • 6840\cdot17=116280.
  • 116280\cdot16=1860480.
    Dividindo: \dfrac{1860480}{120}=15504.
    Logo,
\binom{20}{5}=15504.

Passo 7

Substituindo nos termos da probabilidade:
P=\frac{\binom{4}{1}\,\binom{16}{4}}{\binom{20}{5}}=\frac{4\cdot1820}{15504}=\frac{7280}{15504}.
Simplificando a fração: ambos divididos por 16 dão
\frac{7280}{15504}=\frac{455}{969}.
Verificação rápida: 15504/16=969 e 7280/16=455.

Passo 8

Converter em decimal para intuição:
\frac{455}{969}\approx 0,4696,
ou seja, cerca de 46{,}96\%. (Arredondei a quatro casas decimais.)

Passo 9

Resumo e incentivo: portanto a probabilidade de encontrar exatamente uma peça defeituosa na amostra de cinco, sem reposição, é \dfrac{455}{969} (aprox. 0,4696). Boa! Esse tipo de contagem combinatória é muito usado em problemas de amostragem sem reposição — treine mais alguns casos (ex.: probabilidade de exatamente 2 defeituosas) para fixar.

Resposta

\dfrac{455}{969}\approx 0,4696

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