- Exercício 2: Em um lote de 20 peças, 4 são defeituosas. Se extrairmos uma amostra de 5 peças sem reposição, qual a probabilidade de encontrar exatamente 1 defeituosa?
Passo 1
O enunciado fornece:
- Tamanho do lote:
peças. - Número de peças defeituosas no lote:
. - Amostra retirada sem reposição: tamanho
.
O que se pede: a probabilidade de encontrar exatamentepeça defeituosa entre as retiradas.
Passo 2
Ideia geral (explicada de forma concreta): quando extraímos sem reposição e contamos quantas “sucessos” (aqui, peças defeituosas) aparecem em uma amostra, a maneira correta é contar quantas amostras possíveis são favoráveis e dividir pelo número total de amostras possíveis. Cada amostra de
peças é uma combinação (a ordem não importa). Então:
- Número de amostras totais = número de maneiras de escolher
peças entre . - Número de amostras favoráveis (exatamente 1 defeituosa) = escolher
defeituosa dentre as disponíveis e escolher não-defeituosas dentre as restantes.
A probabilidade será a razão entre essas duas contagens.
Passo 3
Vamos lembrar a definição de combinação usada aqui. A combinação de
elementos tomados
a
é
onde
(fatorial) é
. Isso dá o número de subconjuntos de tamanho
que podem ser formados a partir de
elementos (ordem não importa). Exemplo curto:
.
Passo 4
Escrevendo a fórmula da probabilidade conforme a contagem combinatória:
Aqui:
-
= maneiras de escolher a 1 defeituosa entre 4. -
= maneiras de escolher as 4 não-defeituosas entre 16. -
= maneiras totais de escolher 5 peças entre 20.
Passo 5
Calcular cada combinação passo a passo.
Primeiro,
Agora
. Usando a fórmula:
Fazendo contas com simplificações:
-
. - Numerador:
; ; . - Dividindo:
.
Portanto,
Passo 6
Agora
:
O denominador
. Numerador passo a passo:
-
. -
. -
. -
.
Dividindo:.
Logo,
Passo 7
Substituindo nos termos da probabilidade:
Simplificando a fração: ambos divididos por
dão
Verificação rápida:
e
.
Passo 8
Converter em decimal para intuição:
ou seja, cerca de
. (Arredondei a quatro casas decimais.)
Passo 9
Resumo e incentivo: portanto a probabilidade de encontrar exatamente uma peça defeituosa na amostra de cinco, sem reposição, é
(aprox.
). Boa! Esse tipo de contagem combinatória é muito usado em problemas de amostragem sem reposição — treine mais alguns casos (ex.: probabilidade de exatamente 2 defeituosas) para fixar.