• Exercício 5: Qual a probabilidade de obter o primeiro “sucesso” em um ensaio de Bernoulli com p=0,5 somente após o 2^{\circ} lançamento?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Probabilidade de sucesso em cada ensaio de Bernoulli: p=0,5.
  • Ensaios são independentes (cada lançamento não altera os outros).
    O que o enunciado pede:
  • A probabilidade de que o primeiro “sucesso” ocorra somente após o 2^{\circ} lançamento — ou seja, que nos dois primeiros lançamentos não ocorra sucesso (o primeiro sucesso só ocorre no terceiro lançamento ou depois).

Passo 2

Entendendo a situação (conceitos básicos, devagarinho):
  • Em um ensaio de Bernoulli temos duas possibilidades: “sucesso” com probabilidade p e “falha” com probabilidade 1-p. Vou chamar q a probabilidade de falha, isto é q=1-p.
  • Os ensaios são independentes, então a probabilidade de ocorrer uma sequência de resultados é o produto das probabilidades de cada resultado.
  • Se N é a variável aleatória que representa o número do lançamento em que ocorre o primeiro sucesso, então a fórmula padrão (distribuição geométrica, forma “contando o primeiro sucesso”) é:
P(N=k) = (1-p)^{k-1} p,
onde k é um inteiro positivo. Aqui (1-p)^{k-1} representa as k-1 falhas iniciais e o fator p representa o sucesso no k-ésimo ensaio.

Passo 3

Traduzindo o pedido para probabilidade com fórmulas:
  • Pedem P(N>2), isto é, probabilidade de que o primeiro sucesso ocorra depois do segundo lançamento.
  • Uma forma direta de ver isso: para ter o primeiro sucesso só depois do segundo é preciso que os dois primeiros lançamentos sejam falhas. Pela independência, a probabilidade disso é o produto das probabilidades de falha nos dois primeiros:
P(N>2) = q \cdot q = q^2 = (1-p)^2.

Passo 4

Forma alternativa (para entender outra via): usar a soma das probabilidades até 2 e complementar.
  • Temos
P(N\le 2) = P(N=1)+P(N=2).
  • Pela fórmula da distribuição geométrica,
P(N=1)=p, \qquad P(N=2)=(1-p)p.
  • Então
P(N\le 2)=p+(1-p)p = p\bigl(1+(1-p)\bigr).
  • Logo
P(N>2)=1-P(N\le 2).
As duas abordagens (produto das falhas nos dois primeiros ou complemento) dão a mesma expressão algebraica equivalente a (1-p)^2.

Passo 5

Agora substituímos o valor numérico dado p=0,5.
  • Primeiro calcule q=1-p:
q = 1 - p = 1 - 0,5 = 0,5.
  • Usando P(N>2)=(1-p)^2 obtemos o valor numérico (cálculo mostrado passo a passo):
P(N>2) = q^2 = 0,5^2 = 0,25.

Passo 6

Interpretação rápida e encorajamento:
  • Significa que, com p=0,5, há 25\% de chance de não obter nenhum sucesso nos dois primeiros lançamentos e só então ter o primeiro sucesso mais tarde.
  • Boa! Você entendeu a lógica: “falha, falha” com probabilidades multiplicadas por independência. Isso é o essencial para questões desse tipo — controla bem esse raciocínio que cai bastante em prova.

Resposta

0,25

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