- Exercício 5: Qual a probabilidade de obter o primeiro “sucesso” em um ensaio de Bernoulli com
somente após o
lançamento?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Probabilidade de sucesso em cada ensaio de Bernoulli:
. - Ensaios são independentes (cada lançamento não altera os outros).
O que o enunciado pede: - A probabilidade de que o primeiro “sucesso” ocorra somente após o
lançamento — ou seja, que nos dois primeiros lançamentos não ocorra sucesso (o primeiro sucesso só ocorre no terceiro lançamento ou depois).
Passo 2
Entendendo a situação (conceitos básicos, devagarinho):
- Em um ensaio de Bernoulli temos duas possibilidades: “sucesso” com probabilidade
e “falha” com probabilidade . Vou chamar a probabilidade de falha, isto é . - Os ensaios são independentes, então a probabilidade de ocorrer uma sequência de resultados é o produto das probabilidades de cada resultado.
- Se
é a variável aleatória que representa o número do lançamento em que ocorre o primeiro sucesso, então a fórmula padrão (distribuição geométrica, forma “contando o primeiro sucesso”) é:
onde
é um inteiro positivo. Aqui
representa as
falhas iniciais e o fator
representa o sucesso no
-ésimo ensaio.
Passo 3
Traduzindo o pedido para probabilidade com fórmulas:
- Pedem
, isto é, probabilidade de que o primeiro sucesso ocorra depois do segundo lançamento. - Uma forma direta de ver isso: para ter o primeiro sucesso só depois do segundo é preciso que os dois primeiros lançamentos sejam falhas. Pela independência, a probabilidade disso é o produto das probabilidades de falha nos dois primeiros:
Passo 4
Forma alternativa (para entender outra via): usar a soma das probabilidades até 2 e complementar.
- Temos
- Pela fórmula da distribuição geométrica,
- Então
- Logo
As duas abordagens (produto das falhas nos dois primeiros ou complemento) dão a mesma expressão algebraica equivalente a
.
Passo 5
Agora substituímos o valor numérico dado
.
- Primeiro calcule
:
- Usando
obtemos o valor numérico (cálculo mostrado passo a passo):
Passo 6
Interpretação rápida e encorajamento:
- Significa que, com
, há de chance de não obter nenhum sucesso nos dois primeiros lançamentos e só então ter o primeiro sucesso mais tarde. - Boa! Você entendeu a lógica: “falha, falha” com probabilidades multiplicadas por independência. Isso é o essencial para questões desse tipo — controla bem esse raciocínio que cai bastante em prova.