- Exercício 3: Uma pequena empresa possui
funcionários, sendo
homens e
mulheres. Se
funcionários forem sorteados para um treinamento sem reposição, qual a probabilidade de serem sorteados exatamente
homens?
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de que, ao sortear sem reposição
funcionários dentre
, sejam sorteados exatamente
homens.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- Total de funcionários:
. - Homens:
. - Mulheres:
. - Tamanho do sorteio:
(sem reposição).
Pergunta: qual a probabilidade de obter exatamentehomens entre os sorteados?
Passo 2
Qual o método? Como o sorteio é sem reposição e interessa o número de sucessos (homens) em uma amostra de tamanho fixo, usamos contagem combinatória (modelo hipergeométrico). A ideia básica é: probabilidade =
.
- “Resultados possíveis” são todas as formas de escolher
pessoas dentre , isto é . - “Resultados favoráveis” são as escolhas com exatamente
homens e mulheres. Para isso escolhemos homens dentre e mulheres dentre , logo o total favorável é .
Passo 3
Explicar o que é
e como calcular:
é o número de maneiras de escolher
elementos de um conjunto de
sem considerar ordem. Fórmula:
onde
(fatorial) é
. Para cálculos práticos costuma-se cancelar fatores para evitar números grandes.
Passo 4
Calcular o número de resultados favoráveis:
Multiplicando (escolher 2 homens E 2 mulheres):
Passo 5
Calcular o número total de resultados possíveis:
Podemos simplificar passo a passo:
. Então
Passo 6
Agora a probabilidade é:
Simplificando a fração: o máximo divisor comum de
e
é
, então
Como valor decimal:
(ou seja, cerca de
).
Passo 7
Dica rápida para prova: sempre que for “sem reposição” e pedir exatamente
de um tipo, use a fórmula hipergeométrica geral
onde
é o total,
o número de “sucessos” na população,
o tamanho da amostra e
o número de sucessos desejados. Aqui
,
,
,
.