• Exercício 3: Uma pequena empresa possui \mathbf{1 2} funcionários, sendo \mathbf{7} homens e \mathbf{5} mulheres. Se \mathbf{4} funcionários forem sorteados para um treinamento sem reposição, qual a probabilidade de serem sorteados exatamente \mathbf{2} homens?

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que, ao sortear sem reposição \,4 funcionários dentre \,12, sejam sorteados exatamente \,2 homens.
Informações fornecidas:
  • Total de funcionários: \,12.
  • Homens: \,7.
  • Mulheres: \,5.
  • Tamanho do sorteio: \,4 (sem reposição).
    Pergunta: qual a probabilidade de obter exatamente \,2 homens entre os \,4 sorteados?

Passo 2

Qual o método? Como o sorteio é sem reposição e interessa o número de sucessos (homens) em uma amostra de tamanho fixo, usamos contagem combinatória (modelo hipergeométrico). A ideia básica é: probabilidade = \dfrac{\text{nº de resultados favoráveis}}{\text{nº total de resultados possíveis}}ºáºí.
  • “Resultados possíveis” são todas as formas de escolher \,4 pessoas dentre \,12, isto é \binom{12}{4}.
  • “Resultados favoráveis” são as escolhas com exatamente \,2 homens e \,2 mulheres. Para isso escolhemos \,2 homens dentre \,7 e \,2 mulheres dentre \,5, logo o total favorável é \binom{7}{2}\cdot\binom{5}{2}.

Passo 3

Explicar o que é \binom{n}{k} e como calcular: \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher k elementos de um conjunto de n sem considerar ordem. Fórmula:
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) é n\cdot(n-1)\cdots1. Para cálculos práticos costuma-se cancelar fatores para evitar números grandes.

Passo 4

Calcular o número de resultados favoráveis:
\binom{7}{2}=\frac{7\cdot6}{2\cdot1}=21,
\binom{5}{2}=\frac{5\cdot4}{2\cdot1}=10.
Multiplicando (escolher 2 homens E 2 mulheres):
\text{favoráveis}=\binom{7}{2}\cdot\binom{5}{2}=21\cdot10=210.á

Passo 5

Calcular o número total de resultados possíveis:
\binom{12}{4}=\frac{12\cdot11\cdot10\cdot9}{4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Podemos simplificar passo a passo: 4\cdot3\cdot2\cdot1=24. Então
\binom{12}{4}=\frac{12\cdot11\cdot10\cdot9}{24}=\frac{11880}{24}=495.

Passo 6

Agora a probabilidade é:
P(\text{exatamente }2\text{ homens})=\frac{\text{favoráveis}}{\text{totais}}=\frac{210}{495}.á
Simplificando a fração: o máximo divisor comum de 210 e 495 é 15, então
\frac{210}{495}=\frac{14}{33}.
Como valor decimal:
\frac{14}{33}\approx0,424242\ldots
(ou seja, cerca de 42{,}42\%).

Passo 7

Dica rápida para prova: sempre que for “sem reposição” e pedir exatamente k de um tipo, use a fórmula hipergeométrica geral
P=\frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}},
onde N é o total, K o número de “sucessos” na população, n o tamanho da amostra e k o número de sucessos desejados. Aqui N=12, K=7, n=4, k=2.

Resposta

\dfrac{14}{33}\approx0,424242\ldots

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