Exercício 4: Lucro máximo com custo fixo
Uma fábrica produz um item com custo fixo de R 2000,00 e custo variável de Rá20,00 por unidade. O item é vendido por R 50,00, mas a empresa observa que, para cada R1,00 de aumento no preço, vende-se 10 unidades a menos (a partir de 300 vendidas com preço de R 50,00$ ). Qual o preço de venda que maximiza o lucro?
RESPOSTA: preço ótimo = R ) Qual o preço de venda que maximiza o lucro? RESPOSTA: preço ótimo = Rá 9000,00

Passo 1

O enunciado diz que a fábrica tem custo fixo de R$2000, custo variável de R$20 por unidade, vende o produto a um preço inicial de R$50 e, para cada aumento de R$1 no preço, a demanda cai em 10 unidades. Queremos achar o preço que maximiza o lucro. Para isso, vamos:
  1. Modelar a demanda em função da variação de preço.
  2. Escrever receita, custo total e lucro.
  3. Maximizar o lucro por derivação.

Passo 2

Definimos x como o acréscimo de preço em reais a partir de R$50.
Então o preço de venda é
p(x) = 50 + x
e a demanda (unidades vendidas) é
q(x) = 300 - 10x

Passo 3

A receita R é preço vezes quantidade:
R(x) = p(x),q(x) = (50+x)(300 - 10x)
O custo total C é custo fixo mais custo variável:
C(x) = 2000 + 20,q(x) = 2000 + 20(300 - 10x)

Passo 4

O lucro pi é receita menos custo:
pi(x) = R(x) - C(x)
Calculando:
R(x) = 15000 -200x -10x^2,
C(x) = 2000 +6000 -200x = 8000 -200x,
pi(x) = l(15000 -200x -10x^2r) - l(8000 -200xr) = -10x^2 +7000

Passo 5

Para maximizar pi(x), derivamos e igualamos a zero:
pi'(x) = ddxl(-10x^2 +7000r) = -20x,
-20x = 0 Rightarrow x = 0
Como o coeficiente de x^2 é negativo, trata-se de um máximo.

Passo 6

No ponto x=0 temos:
preço ótimo p(0)=50+0 = 50, çó
quantidade q(0)=300 -10cdot0 = 300,
lucro máximo pi(0) = -10cdot0^2 +7000 = 7000 á

Resposta

O preço de venda que maximiza o lucro é R$50,00.
Nesse ponto vendem-se 300 unidades e o lucro máximo é R$7000,00.

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