Exercício 5 (Matemática). Sejam
e
subconjuntos de
. Verifique que
;
Passo 1
O enunciado dá que
e
são subconjuntos de
, com
, e pede para verificar a igualdade
Informações relevantes fornecidas:
-
e . -
denota o complemento de em . - O objetivo é mostrar que os dois conjuntos à esquerda e à direita são iguais.
Passo 2
Plano de resolução (o mais direto e elementar): provar igualdade mostrando as duas inclusões
e
. Antes de começar, relembrar definições básicas que vou usar (explicadinhas, passo a passo):
- Definição de interseção: para quaisquer conjuntos
e , - Definição de complemento:
significa que e . - Definição de união: para quaisquer conjuntos
e , onde “ou” aqui é inclusive (pode pertencer a ambos).
Estas definições permitem fazer o chamado “raciocínio por elementos”: pegar um elemento genéricode um lado e mostrar que ele pertence ao outro lado.
Passo 3
Provar
.
Seja
. Pela definição de união, temos dois casos:
- Caso 1:
. Então, pela definição de interseção, e . Em particular , portanto . - Caso 2:
. Então, imediatamente, .
Em ambos os casos. Como foi um elemento arbitrário do conjunto da esquerda, concluímos
Passo 4
Provar
.
Seja
. Pela definição de união, há dois casos:
- Caso 1:
. Então porque pertence a . - Caso 2:
. Agora consideremos subcasos: - Se
, então e , logo , e portanto . - Se
, então voltamos ao caso em que e portanto .
Em qualquer subcaso,. Como foi um elemento arbitrário de , obtemos
- Se
Passo 5
Como provamos as duas inclusões
e
, segue que os dois conjuntos são iguais. Intuição rápida: a união com
junta todos os elementos de
e também os elementos de
que não estão em
; isso reconstrói exatamente
. Força aí — esse tipo de argumento por elementos é o mais útil em provas de identidades de conjuntos!