Exercício 5 (Matemática). Sejam A e B subconjuntos de S \neq \emptyset. Verifique que
\left(A \cap B^{c}\right) \cup B=A \cup B;

Passo 1

O enunciado dá que A e B são subconjuntos de S, com S \neq \emptyset, e pede para verificar a igualdade
\left(A \cap B^{c}\right) \cup B = A \cup B.
Informações relevantes fornecidas:
  • A \subseteq S e B \subseteq S.
  • B^{c} denota o complemento de B em S.
  • O objetivo é mostrar que os dois conjuntos à esquerda e à direita são iguais.

Passo 2

Plano de resolução (o mais direto e elementar): provar igualdade mostrando as duas inclusões \subseteq e \supseteq. Antes de começar, relembrar definições básicas que vou usar (explicadinhas, passo a passo):
  • Definição de interseção: para quaisquer conjuntos X e Y, x \in X \cap Y \quad\text{se, e somente se,}\quad x \in X \text{ e } x \in Y.
  • Definição de complemento: x \in B^{c} significa que x \in S e x \notin B.
  • Definição de união: para quaisquer conjuntos X e Y, x \in X \cup Y \quad\text{se, e somente se,}\quad x \in X \text{ ou } x \in Y,onde “ou” aqui é inclusive (pode pertencer a ambos).
    Estas definições permitem fazer o chamado “raciocínio por elementos”: pegar um elemento genérico x de um lado e mostrar que ele pertence ao outro lado.

Passo 3

Provar \left(A \cap B^{c}\right) \cup B \subseteq A \cup B.
Seja x \in \left(A \cap B^{c}\right) \cup B. Pela definição de união, temos dois casos:
  • Caso 1: x \in A \cap B^{c}. Então, pela definição de interseção, x \in A e x \notin B. Em particular x \in A, portanto x \in A \cup B.
  • Caso 2: x \in B. Então, imediatamente, x \in A \cup B.
    Em ambos os casos x \in A \cup B. Como x foi um elemento arbitrário do conjunto da esquerda, concluímos
\left(A \cap B^{c}\right) \cup B \subseteq A \cup B.

Passo 4

Provar A \cup B \subseteq \left(A \cap B^{c}\right) \cup B.
Seja x \in A \cup B. Pela definição de união, há dois casos:
  • Caso 1: x \in B. Então x \in \left(A \cap B^{c}\right) \cup B porque pertence a B.
  • Caso 2: x \in A. Agora consideremos subcasos:
    • Se x \notin B, então x \in A e x \notin B, logo x \in A \cap B^{c}, e portanto x \in \left(A \cap B^{c}\right) \cup B.
    • Se x \in B, então voltamos ao caso em que x \in B e portanto x \in \left(A \cap B^{c}\right) \cup B.
      Em qualquer subcaso, x \in \left(A \cap B^{c}\right) \cup B. Como x foi um elemento arbitrário de A \cup B, obtemos
A \cup B \subseteq \left(A \cap B^{c}\right) \cup B.

Passo 5

Como provamos as duas inclusões \left(A \cap B^{c}\right) \cup B \subseteq A \cup B e A \cup B \subseteq \left(A \cap B^{c}\right) \cup B, segue que os dois conjuntos são iguais. Intuição rápida: a união com B junta todos os elementos de B e também os elementos de A que não estão em B; isso reconstrói exatamente A \cup B. Força aí — esse tipo de argumento por elementos é o mais útil em provas de identidades de conjuntos!

Resposta

\left(A \cap B^{c}\right) \cup B = A \cup B

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