(2 pontos) Considere os vetores
. Verifique se a função
dada por
é um produto interno.
Passo 1
O enunciado define a aplicação
e pede para verificar se isso é um produto interno em
. Para isso, precisamos checar três propriedades: simetria, bilinearidade (linearidade em cada argumento) e positividade definida.
Passo 2
Verificação da simetria. Tomando
e
,
Como a multiplicação real é comutativa, temos
Logo,
, ou seja,
é simétrica.
Passo 3
Verificação da linearidade em cada argumento.
- Linearidade em
. Dados vetores , , escalar e vetor ,
- Pela simetria, segue-se a linearidade em
da mesma forma. Assim, é bilinear.
Passo 4
Verificação da positividade definida. Para qualquer
,
Como
e
, segue
. Além disso,
implica
o que só ocorre se
e
, ou seja,
. Portanto,
é positiva definida.
Resposta
A função
satisfaz simetria, bilinearidade e positividade definida, logo é um produto interno em
.