(2 pontos) Considere os vetores u=\left(x_{1}, y_{1}\right), v=\left(x_{2}, y_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}. Verifique se a função f: \mathbb{R}^{2} \times \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} dada por f(u, v)=2 x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2} é um produto interno.

Passo 1

O enunciado define a aplicação
f\colon \mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2\to\mathbb{R},
f\bigl((x_1,y_1),(x_2,y_2)\bigr)=2x_1x_2+y_1y_2,
e pede para verificar se isso é um produto interno em \mathbb{R}^2. Para isso, precisamos checar três propriedades: simetria, bilinearidade (linearidade em cada argumento) e positividade definida.

Passo 2

Verificação da simetria. Tomando u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2),
f(u,v)=2x_1x_2+y_1y_2.
Como a multiplicação real é comutativa, temos
2x_1x_2+y_1y_2 = 2x_2x_1+y_2y_1 = f(v,u).
Logo, f(u,v)=f(v,u), ou seja, f é simétrica.

Passo 3

Verificação da linearidade em cada argumento.
  1. Linearidade em u. Dados vetores u_1=(x_1,y_1), u_2=(x_1',y_1'), escalar \alpha e vetor v=(x_2,y_2),
f(\alpha u_1+u_2,v) =2(\alpha x_1+x_1')x_2+(\alpha y_1+y_1')y_2
=\alpha(2x_1x_2+y_1y_2)+(2x_1'x_2+y_1'y_2) =\alpha\,f(u_1,v)+f(u_2,v).
  1. Pela simetria, segue-se a linearidade em v da mesma forma. Assim, f é bilinear.

Passo 4

Verificação da positividade definida. Para qualquer u=(x_1,y_1),
f(u,u)=2x_1^2+y_1^2.
Como x_1^2\ge0 e y_1^2\ge0, segue f(u,u)\ge0. Além disso, f(u,u)=0 implica
2x_1^2+y_1^2=0
o que só ocorre se x_1=0 e y_1=0, ou seja, u=(0,0). Portanto, f é positiva definida.

Resposta

A função f(u,v)=2x_1x_2+y_1y_2 satisfaz simetria, bilinearidade e positividade definida, logo é um produto interno em \mathbb{R}^2.

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