Exercício 5:
\mathrm{x}+2 \mathrm{y}+\mathrm{z}+\mathrm{w}=8
2 \mathrm{x}-\mathrm{y}+\mathrm{z}+2 \mathrm{w}=3
3 \mathrm{x}+\mathrm{y}+2 \mathrm{z}-\mathrm{w}=10
\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}+\mathrm{w}=5

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema linear de quatro equações e quatro incógnitas (x,y,z,w):
\begin{cases} x + 2y + z + w = 8,\\\\ 2x - y + z + 2w = 3,\\\\ 3x + y + 2z - w = 10,\\\ x + y + z + w = 5. \end{cases}
O conteúdo é resolução de sistema linear via eliminação de variáveis.

Passo 2

Subtraindo a quarta equação da primeira, eliminamos x,z,w e achamos y:
(x+2y+z+w) - (x+y+z+w) = 8 - 5
y = 3.

Passo 3

Substituindo y=3 na quarta equação x+y+z+w=5, obtemos uma relação entre x,z,w:
x + 3 + z + w = 5
x + z + w = 2.

Passo 4

Substituindo y=3 nas segunda e terceira equações, temos
2x - 3 + z + 2w = 3\quad\Longrightarrow\quad 2x + z + 2w = 6,
3x + 3 + 2z - w = 10\quad\Longrightarrow\quad 3x + 2z - w = 7.

Passo 5

Da equação x + z + w = 2 isolamos z:
z = 2 - x - w.
Substituindo em
2x + z + 2w = 6 \quad\text{e}\quad 3x + 2z - w = 7
temos
2x + (2 - x - w) + 2w = 6 \quad\Longrightarrow\quad x + w = 4,
3x + 2(2 - x - w) - w = 7 \quad\Longrightarrow\quad x - 3w = 3.

Passo 6

Resolvendo o sistema em (x,w):
\begin{cases} x + w = 4,\\\ x - 3w = 3, \end{cases}
subtraindo a segunda da primeira dá
4w = 1
w = \tfrac14,
e então
x = 4 - w = 4 - \tfrac14 = \tfrac{15}{4}.

Passo 7

Com x=\tfrac{15}{4} e w=\tfrac14, voltamos em z = 2 - x - w:
z = 2 - \tfrac{15}{4} - \tfrac14 = 2 - 4 = -2.
E já tínhamos y=3.

Resposta

x = \tfrac{15}{4},\quad y = 3,\quad z = -2,\quad w = \tfrac{1}{4}.

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