(0,5 ponto ) \left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 1 & 3 \\\\ 2 & x\end{array}\right], 0 ou 1 solução a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right). Para a matriz dada, atribua um valor para x de forma que o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado apresenta a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 2 & 1\\\\ 1 & 3\\\\ 2 & x \end{pmatrix}
e pede que escolhamos x de modo que o sistema linear A\mathbf{u}=\mathbf{b} tenha “0 ou 1 solução, a depender de \mathbf{b}”. O tema é a teoria de existência e unicidade de soluções via posto (rank) da matriz.

Passo 2

Um sistema A\mathbf{u}=\mathbf{b} com A de tamanho m\times n satisfaz:
  • Se \rank(A)=n, então ele admite no máximo uma solução. Em particular, dependendo de \mathbf{b} (se \mathbf{b} pertence ou não ao espaço coluna de A), haverá 0 ou 1 solução.
  • Se \rank(A)<n, podem ocorrer infinitas soluções para alguns \mathbf{b}.
Para termos exatamente o caso “0 ou 1 solução”, precisamos garantir
\rank(A)=n=2.

Passo 3

Basta verificar que já há um menor 2\times2 não nulo, independente de x. Por exemplo, o determinante da submatriz formada pelas duas primeiras linhas e colunas é
\det \begin{pmatrix} 2 & 1\\\\ 1 & 3 \end{pmatrix} =2\cdot3-1\cdot1=6-1=5\neq0.
Logo \rank(A)\ge2. Mas como A tem só 2 colunas, isso implica \rank(A)=2 para qualquer valor de x.

Resposta

Qualquer x\in\mathbb{R}. Dessa forma \rank(A)=2 e o sistema terá sempre no máximo uma solução, sendo que para certas \mathbf{b} é inconsistente (0 soluções) e para outras consistente e única (1 solução).

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