(0,5 ponto ) \left[\begin{array}{ll}1 & x \\\\ 2 & 1 \\\\ 3 & y\end{array}\right], 0 ou infinitas soluções a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right). Para a matriz dada, atribua um valor para x e um valor para y de forma que o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado nos dá uma matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & x\\\\ 2 & 1\\\\ 3 & y \end{pmatrix}
e pede que atribuamos valores a x e y de modo que o sistema A\boldsymbol{u}=\boldsymbol b tenha ou 0 ou infinitas soluções, dependendo apenas de \boldsymbol b.
Conteúdo: teoria de posto de matrizes e existência/infinitude de soluções de sistemas lineares.

Passo 2

Para um sistema m\times n com n variáveis,
– se \rank(A)=n, as soluções, quando existem, são únicas;
– se \rank(A)<n, então, quando houver solução, ela será infinita, e caso \boldsymbol b não pertença ao espaço-coluna, não há solução (0 soluções).
Aqui n=2, então queremos \rank(A)=1 para obter 0 ou infinitas soluções conforme \boldsymbol b.

Passo 3

Pondo \rank(A)=1 significa que as duas colunas de A são linearmente dependentes. Denote-as
\boldsymbol c_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix}, \quad \boldsymbol c_2 = \begin{pmatrix}x\\\ 1\y\end{pmatrix}.
Linear dependência exige \boldsymbol c_2 = \lambda\,\boldsymbol c_1 para algum \lambda\in\mathbb R.

Passo 4

Igualando componentes em \boldsymbol c_2 = \lambda\,\boldsymbol c_1:
  1. Da segunda linha: 1 = \lambda\cdot2 \lambda = \tfrac12.
  2. Da primeira linha: x = \lambda\cdot1 x = \tfrac12.
  3. Da terceira linha: y = \lambda\cdot3 y = \tfrac32.

Resposta

Atribuindo
x = \tfrac12, \quad y = \tfrac32,
temos \rank(A)=1, de modo que o sistema A\boldsymbol u=\boldsymbol b terá 0 soluções se \boldsymbol b\notin\mathrm{Im}(A) e infinitas soluções se \boldsymbol b\in\mathrm{Im}(A).

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