(0,5 ponto )\left[\begin{array}{ll}1 & x \\\\ 2 & 1 \\\\ 3 & y\end{array}\right], 0 ou infinitas soluções a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right). Para a matriz dada, atribua um valor para x e um valor para y de forma que o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado nos dá uma matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & x\\\\ 2 & 1\\\\ 3 & y \end{pmatrix}
e pede que atribuamos valores a x e y de modo que o sistema A\boldsymbol{u}=\boldsymbol b tenha ou 0 ou infinitas soluções, dependendo apenas de \boldsymbol b.
Conteúdo: teoria de posto de matrizes e existência/infinitude de soluções de sistemas lineares.
Passo 2
Para um sistema m\times n com n variáveis,
– se \rank(A)=n, as soluções, quando existem, são únicas;
– se \rank(A)<n, então, quando houver solução, ela será infinita, e caso \boldsymbol b não pertença ao espaço-coluna, não há solução (0 soluções).
Aqui n=2, então queremos \rank(A)=1 para obter 0 ou infinitas soluções conforme \boldsymbol b.
Passo 3
Pondo \rank(A)=1 significa que as duas colunas de A são linearmente dependentes. Denote-as
Linear dependência exige \boldsymbol c_2 = \lambda\,\boldsymbol c_1 para algum \lambda\in\mathbb R.
Passo 4
Igualando componentes em \boldsymbol c_2 = \lambda\,\boldsymbol c_1:
Da segunda linha: 1 = \lambda\cdot2 ⇒ \lambda = \tfrac12.
Da primeira linha: x = \lambda\cdot1 ⇒ x = \tfrac12.
Da terceira linha: y = \lambda\cdot3 ⇒ y = \tfrac32.
Resposta
Atribuindo
x = \tfrac12, \quad y = \tfrac32,
temos \rank(A)=1, de modo que o sistema A\boldsymbol u=\boldsymbol b terá 0 soluções se \boldsymbol b\notin\mathrm{Im}(A) e infinitas soluções se \boldsymbol b\in\mathrm{Im}(A).