Exercício 5.5.4. Mostre que o conjunto \left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\\\ 0 & -1\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0 & -1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right) é uma base de \mathcal{M}_{2 \times 2}. Considere a base ordenada \beta formada por esses vetores nessa ordem. Calcule \left[\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 4\end{array}\right)\right]_{\beta}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os quatro matrizes
E_1 = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix},\quad E_2 = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & -1\end{pmatrix},\quad E_3 = \begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{pmatrix},\quad E_4 = \begin{pmatrix}0 & -1 \\\\ 1 & 0\end{pmatrix}
formam uma base de \mathcal{M}_{2\times2} (espaço de dimensão 4) e, em seguida, determinar as coordenadas de \displaystyle A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 3 & 4\end{pmatrix}
na base ordenada \beta = (E_1,E_2,E_3,E_4).

Passo 2

Para mostrar que \{E_1,E_2,E_3,E_4\}\) é base, basta verificar que elas são linearmente independentes. Suponha \[c_1E_1 + c_2E_2 + c_3E_3 + c_4E_4 = \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix}.
Escrevendo o lado esquerdo em componentes, temos
c_1\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix} + c_2\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&-1\end{pmatrix} + c_3\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\end{pmatrix} + c_4\begin{pmatrix}0&-1\\\ 1&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}c_1+c_2 & c_3 - c_4 \\[6pt] c_3 + c_4 & c_1 - c_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}.
Igualando entradas, obtém-se o sistema
\begin{cases} c_1 + c_2 = 0,\\\ c_1 - c_2 = 0,\\\ c_3 - c_4 = 0,\\\ c_3 + c_4 = 0. \end{cases}
Dessas equações segue (c_1 = c_2 = c_3 = c_4 = 0]. Logo são L.I. e, como há 4 vetores num espaço de dimensão 4, formam base.]

Passo 3

Para achar [\!A\!]_\beta\), escrevemos \[c_1E_1 + c_2E_2 + c_3E_3 + c_4E_4 = \begin{pmatrix}c_1+c_2 & c_3 - c_4 \\\ c_3 + c_4 & c_1 - c_2\end{pmatrix} \stackrel!= \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 3 & 4\end{pmatrix}.
Isto gera o sistema
\begin{cases} c_1 + c_2 = 1,\\\ c_1 - c_2 = 4,\\\ c_3 - c_4 = 2,\\\ c_3 + c_4 = 3. \end{cases}
Das duas primeiras: 2c_1=5\Rightarrow c_1=\tfrac52\], \(c_2=1-\tfrac52=-\tfrac32.
Das duas últimas: 2c_3=5\Rightarrow c_3=\tfrac52, c_4=3-\tfrac52=\tfrac12.

Resposta

[\!A\!]_\beta = \Bigl(c_1,c_2,c_3,c_4\Bigr) = \Bigl(\tfrac{5}{2},-\tfrac{3}{2},\tfrac{5}{2},\tfrac{1}{2}\Bigr).

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